Простые пределы с корнями .
В этом разделе будут представлены пределы дробей, у которых в числителе и в знаменателе могут быть квадратные
корни или корни других степеней
Во всех пределах \(x\) стремится к бесконечности \( (x \to \infty) \), поэтому возникает неопределенность вида
\( \dfrac{\infty}{\infty} \)
Чтобы уйти от неопределенности мы должны найти старшую степень дроби , после чего разделить числитель и знаменатель
на икс в старшей степени.
В первых заданиях будет сразу сказано на что нужно делить, это и будет икс в старшей степени
1. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на \(x^2\):
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^2-6x-18}{\sqrt{x^4+4x-12} } \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Заметим, что при внесении \(x^2\) под знак квадратного корня он превратится в \(x^4\)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^2-6x-18}{\sqrt{x^4+4x-12} }=
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5x^2-6x-18}{x^2} } { \dfrac{\sqrt{x^4+4x-12}}{x^2} }=
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \dfrac{5x^2}{x^2} - \dfrac{6x}{x^2}-\dfrac{18}{x^2} }
{\sqrt{ \dfrac{x^4}{x^4}+\dfrac{4x}{x^4}-\dfrac{12}{x^4}} }= \)
\( =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ 5 - \dfrac{6}{x}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}-\dfrac{18}{x^2}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }} }
{\sqrt{ 1+\dfrac{4}{x^3}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}-\dfrac{12}{x^4}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }} } }=
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5}{\sqrt{1} }= 5 \)
2. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на \(x\):
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+7x+3}+\sqrt{x-7}}{\sqrt{16x^2+2x} } \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Обратим внимание на то, что при внесении икса под знак квадратного корня мы обязаны возвести этот икс в квадрат
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9x^2+7x+3}+\sqrt{x-7}}{\sqrt{16x^2+2x} }=
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \dfrac{ \sqrt{9x^2+7x+3} }{x} + \dfrac{\sqrt{x-7} }{x} }{ \dfrac{ \sqrt{16x^2+2x}}{x} }= \)
\( =\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{ \dfrac{9x^2}{x^2}+ \dfrac{7x}{x^2}+ \dfrac{3}{x^2} }+\sqrt{\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{7}{x^2}}}{\sqrt{\dfrac{16x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}} }=
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{9+ \dfrac{7}{x}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}+ \dfrac{3}{x^2}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }} }+\sqrt{\dfrac{1}{x}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }} -\dfrac{7}{x^2}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}} }{\sqrt{16+\dfrac{2}{x}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}} }= \)
\(= \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}= \dfrac{3}{4}=0,75 \)
3. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на \(x^2\):
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{2x^2-8x+18}}{\sqrt{16x^4+2x} } \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Заметим, что при внесении \(x^2\) под знак квадратного корня он превратится в \(x^4\)
\( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{2x^2-8x+18}}{\sqrt{16x^4+2x} } =
\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ \dfrac{\sqrt{2x^2-8x+18} }{x^2}}{\dfrac{ \sqrt{16x^4+2x}}{x^2} }=
\lim\limits_{x \to \infty} \ \dfrac{\sqrt{ \dfrac{2x^2}{x^4}-\dfrac{8x}{x^4}+\dfrac{18}{x^4}} }
{ \sqrt{ \dfrac{16x^4}{x^4}+\dfrac{2x}{x^4}} }= \)
\(= \lim\limits_{x \to \infty} \ \dfrac{\sqrt{ \dfrac{2}{x^2}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}-\dfrac{8}{x^3}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}+\dfrac{18}{x^4}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}} }
{ \sqrt{ 16+\dfrac{2}{x^3}^{{\color{Red} \rightarrow 0 }}} }= \dfrac{ \sqrt{0}}{\sqrt{16} }=0 \)