Репетитор
по физике

916 478 1032



П
Р
О
Г
Р
А
М
М
И
Р
О
В
А
Н
И
Е
Репетитор
916 478 1032


Репетитор
по физике

916 478 1032


Репетитор
по алгебре

916 478 1032


Репетитор
по физике

916 478 1032



Задачи на арифметическую прогрессию.



Перейти к самым простым задачам

Перейти к простым задачам

Перейти к задачам средней сложности

Перейти к умеренно сложным



Теория.

Возрастающая арифметическая прогрессия это ряд чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на \(d \)

Пример:
\(1;4;7;10;13 \)

\(d=3\)

\(d\) это разность арифметической прогрессии

Убывающая арифметическая прогрессия это ряд чисел где каждое последующее число меньше предыдущего на \( |d| \)



Формула \(n\)-ного члена:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)



Задачи с 1 по 10 максимально простые.

Уровень сложности 0 из 10.

Задача 1:

Назовите следующее число:

\( 1;3;5;7 \)


  

\( 9 \)

Каждое следующее число больше предыдущего на 2

\( 7+2=9 \)


ПОЗЖЕ



Репетитор по математике

8 916 478 10 32





Задача 2 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_1=1 \), а ее разность \(d=2 . \)
Найти \(a_2\)


  

\( a_2=3 \)

\(a_2=a_1+d\)
\(a_2=1+2=3 \)


ПОЗЖЕ






Задача 3 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_1=5 \), а ее разность \(d=1 . \)
Найти \(a_2\)


  

\( a_2=6 \)

\(a_2=a_1+d\)
\(a_2=5+1=6 \)


ПОЗЖЕ






Задача 4 (Арифметическая прогрессия)

Второй член арифметической прогрессии \(a_2=15 \), а ее разность \(d=5 . \)
Найти \(a_1\)


  

\( a_1=10 \)

\(a_2=a_1+d\)
\(15=a_1+5\)
\(15-5=a_1\)
\(a_1=10\)


ПОЗЖЕ






Задача 5 (Арифметическая прогрессия)

Второй член арифметической прогрессии \(a_2=15 \), а ее разность \(d=100 . \)
Найти \(a_3\)


  

\( a_3=115 \)

\(a_2=a_1+d\)
\(a_3=a_2+d\)
\(a_3=15+100 \)
\(a_3=115 \)


ПОЗЖЕ






Задача 6 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=4 \), а ее разность \(d=6 . \)
Найти десятый член арифметической прогрессии \(a_{10} \)


  

\( a_{10}=58 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам нужен десятый член, значит \( n=10 \)

Вставим числа в формулу:

\(a_{10}=4+6(10-1) \)

\(a_{10}=4+6 \cdot 9 =4+54=58 \)

\(a_{10}=58 \)


ПОЗЖЕ






Задача 7 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=-2 \), а ее разность \(d=3 . \)
Найдите шестой член арифметической прогрессии \(a_{6} \)


  

\( a_{6}=13 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам нужен шестой член, значит \( n=6 \)

Вставим числа в формулу:

\(a_{6}=-2+3(6-1) \)

\(a_{6}=-2+3 \cdot 5 =-2+15=13 \)

\(a_{6}=13 \)


ПОЗЖЕ






Задача 8 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=21 \), а ее разность \(d=-2 . \)
Найдите восьмой член арифметической прогрессии \(a_{8} \)


  

\( a_{8}=7 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам нужен восьмой член, значит \( n=8 \)

Вставим числа в формулу:

\(a_{8}=21-2(8-1) \)

\(a_{8}=21-2 \cdot 7 =21-14=7 \)

\(a_{8}=7 \)


ПОЗЖЕ






Задача 9 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=18 \), а ее разность \(d=-4 . \)
Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии \(a_{15} \)


  

\( a_{15}=-38 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам нужен пятнадцатый член, значит \( n=15 \)

Вставим числа в формулу:

\(a_{15}=18-4(15-1) \)

\(a_{15}=18-4 \cdot 14 =18-56=-38 \)

\(a_{15}=-38 \)


ПОЗЖЕ






Задача 10 (Арифметическая прогрессия)

Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=-15 \), а ее разность \(d=-10 . \)
Найдите четырнадцатый член арифметической прогрессии \(a_{14} \)


  

\( a_{14}=-145 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам нужен четырнадцатый член, значит \( n=14 \)

Вставим числа в формулу:

\(a_{14}=-15-10(14-1) \)

\(a_{14}=-15-10 \cdot 13 =-15-130=-145 \)

\(a_{14}=-145 \)


ПОЗЖЕ


Задачи с 11 по 20 простые.

Уровень сложности 1 из 10.





Задача 11 (Арифметическая прогрессия)

Шестой член арифметической прогрессии равен 18, а ее разность \( d=2 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=8 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам дан шестой член, значит \( n=6 \)

Вставим числа в формулу:

\( 18=a_{1}+2\cdot(6-1) \)

\( 18=a_{1}+2\cdot 5 \)

\( 18=a_{1}+10 \)

\( 18-10=a_{1} \)

\( 8=a_{1} \)

\( a_{1}=8 \)


ПОЗЖЕ






Задача 12 (Арифметическая прогрессия)

Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 180, а ее разность \( d=2,5 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=150 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам дан тринадцатый член, значит \( n=13 \)

Вставим числа в формулу:

\( 180=a_{1}+2,5\cdot(13-1) \)

\( 180=a_{1}+2,5\cdot 12 \)

\( 180=a_{1}+30 \)

\( 180-30=a_{1} \)

\( 150=a_{1} \)

\( a_{1}=150 \)


ПОЗЖЕ






Задача 13 (Арифметическая прогрессия)

Шестнадцатый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность \( d=3,2 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=-46 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам дан шестнадцатый член, значит \( n=16 \)

Вставим числа в формулу:

\( 2=a_{1}+3,2\cdot(16-1) \)

\( 2=a_{1}+3,2\cdot 15 \)

\( 2=a_{1}+48 \)

\( 2-48=a_{1} \)

\( -46=a_{1} \)

\( a_{1}=-46 \)


ПОЗЖЕ






Задача 14 (Арифметическая прогрессия)

Восьмой член убывающей арифметической прогрессии равен 12, а ее разность \( d=-7,8 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=66,6 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам дан восьмой член, значит \( n=8 \)

Вставим числа в формулу:

\( 12=a_{1}-7,8\cdot(8-1) \)

\( 12=a_{1}-7,8\cdot 7 \)

\( 12=a_{1}- 54,6 \)

\( 12+54,6=a_{1} \)

\( 66,6=a_{1} \)

\( a_{1}=66,6\)


ПОЗЖЕ






Задача 15 (Арифметическая прогрессия)

Девятнадцатый член убывающей арифметической прогрессии равен 0, а ее разность \( d=-17,3 . \)
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=311,4 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Нам дан девятнадцатый член, значит \( n=19 \)

Вставим числа в формулу:

\( 0=a_{1}-17,3\cdot(19-1) \)

\( 0=a_{1}-17,3\cdot 18 \)

\( 0=a_{1}-311,4 \)

\( 311,4=a_{1}\)

\( a_{1}=311,4 \)


ПОЗЖЕ






Задача 16 (Арифметическая прогрессия)

Восемнадцатый член геометрической прогрессии равен 10, а девятнадцатый ее член равен 13.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=-41 \)

Восемнадцатый девятнадцатый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)

\( d= a_{19}-a_{18} \)

\( d= 13-10=3 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Далее вставим в эту формулу \(d=3\) и любой из данных нам членов:

\(a_{18}=a_{1}+d(18-1) \)

\( 10=a_{1}+3(18-1) \)

\( 10=a_{1}+3 \cdot 17 \)

\( 10=a_{1}+51 \)

\( 10-51=a_{1} \)

\( -41=a_{1} \)

\( a_{1}=-41 \)


ПОЗЖЕ






Задача 17 (Арифметическая прогрессия)

Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 3,4, а тринадцатый ее член равен 3,8.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=-1 \)

Двенадцатый и тринадцатый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)

\( d= a_{13}-a_{12} \)

\( d= 3,8-3,4=0,4 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Далее вставим в эту формулу \(d=0,4\) и любой из данных нам членов:

\(a_{13}=a_{1}+d(13-1) \)

\( 3,8=a_{1}+0,4(13-1) \)

\( 3,8=a_{1}+0,4 \cdot 12 \)

\( 3,8=a_{1}+4,8 \)

\( 3,8-4,8=a_{1} \)

\( -1=a_{1} \)

\( a_{1}=-1 \)


ПОЗЖЕ






Задача 18 (Арифметическая прогрессия)

Двадцать восьмой член арифметической прогрессии равен 77,3, а двадцать девятый ее член равен 54.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)


  

\( a_{1}=706,4 \)

Двадцать восьмой и двадцать девятый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)

\( d= a_{29}-a_{28} \)

\( d= 54-77,3=-23,3 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Далее вставим в эту формулу \(d=-23,3\) и любой из данных нам членов:

\(a_{29}=a_{1}+d(29-1) \)

\( 54=a_{1}-23,3(29-1) \)

\( 54=a_{1}-23,3 \cdot 28 \)

\( 54=a_{1}-652,4 \)

\( 54+652,4=a_{1} \)

\( 706,4=a_{1} \)

\( a_{1}=706,4 \)


ПОЗЖЕ






Задача 19 (Арифметическая прогрессия)

Сорок третий член арифметической прогрессии равен -13,3, а сорок второй ее член равен -9,7 .
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} . \)


  

\( a_{1}=137,9 \)

Двадцать восьмой и двадцать девятый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)

\( d= a_{43}-a_{42} \)

\( d= -13,3-(-9,7)= -3,6 \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)

Далее вставим в эту формулу \(d=-3,6\) и любой из данных нам членов:

\(a_{42}=a_{1}+d(42-1) \)

\( -9,7=a_{1}-3,6(42-1) \)

\( -9,7=a_{1}-3,6 \cdot 41 \)

\( -9,7=a_{1}-147,6 \)

\( -9,7+147,6=a_{1} \)

\( 137,9=a_{1} \)

\( a_{1}=137,9 \)


ПОЗЖЕ


Задачи с 20 по 30 средней сложности.

Уровень сложности 4 из 10.





Задача 20 (Арифметическая прогрессия)

Пятый член арифметической прогрессии равен 8, а семнадцатый ее член равен 23.
Найдите разность этой прогрессии \( d . \)


  

\( d=1,25 \)

\( a_5=8 \)
\( a_{17}=23 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена и вставим туда числа:

\( \left\{\begin{matrix} a_{5}=a_{1}+d(5-1) & & \\ a_{17}=a_{1}+d(17-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 8=a_{1}+d(5-1) & & \\ 23=a_{1}+d(17-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 8=a_{1}+4d & & \\ 23=a_{1}+16d & & \end{matrix}\right. \)

Домножим первое уравнение на \( -1 \):

\( \left\{\begin{matrix} -8=-a_{1}-4d & & \\ 23=a_{1}+16d & & \end{matrix}\right. \)

Сложим эти два уравнения

(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)

\( (-8)+(23)=(-a_{1}-4d)+(a_{1}+16d) \)

\( 15=-a_{1}-4d+a_{1}+16d \)

\( 15=12d \)

\( d=1,25 \)


ПОЗЖЕ






Задача 21 (Арифметическая прогрессия)

Восьмой член арифметической прогрессии равен 3, а одиннадцатый ее член равен 33.
Найдите разность этой прогрессии \( d . \)


  

\( d=10 \)

\( a_8=3 \)
\( a_{11}=33 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена и вставим туда числа:

\( \left\{\begin{matrix} a_{8}=a_{1}+d(8-1) & & \\ a_{11}=a_{1}+d(11-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3=a_{1}+d(8-1) & & \\ 33=a_{1}+d(11-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3=a_{1}+7d & & \\ 33=a_{1}+10d & & \end{matrix}\right. \)

Домножим первое уравнение на \( -1 \):

\( \left\{\begin{matrix} -3=-a_{1}-7d & & \\ 33=a_{1}+10d & & \end{matrix}\right. \)

Сложим эти два уравнения

(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)

\( (-3)+(33)=(-a_{1}-7d)+(a_{1}+10d) \)

\( 30=-a_{1}-7d+a_{1}+10d \)

\( 30=3d \)

\( d=10 \)


ПОЗЖЕ






Задача 22 (Арифметическая прогрессия)

Восьмой член арифметической прогрессии равен 3, а одиннадцатый ее член равен 33.
Найдите первый член этой прогрессии \( a_1 . \)


  

\( a_{1}=-67 \)

\( a_8=3 \)
\( a_{11}=33 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена и вставим туда числа:

\( \left\{\begin{matrix} a_{8}=a_{1}+d(8-1) & & \\ a_{11}=a_{1}+d(11-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3=a_{1}+d(8-1) & & \\ 33=a_{1}+d(11-1) & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3=a_{1}+7d & & \\ 33=a_{1}+10d & & \end{matrix}\right. \)

Домножим первое уравнение на \( -1 \):

\( \left\{\begin{matrix} -3=-a_{1}-7d & & \\ 33=a_{1}+10d & & \end{matrix}\right. \)

Сложим эти два уравнения

(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)

\( (-3)+(33)=(-a_{1}-7d)+(a_{1}+10d) \)

\( 30=-a_{1}-7d+a_{1}+10d \)

\( 30=3d \)

\( d=10 \)

Подставим \( d=10 \) в формулу \(n\)-ного члена: \( a_{8}=a_{1}+d(8-1) \)

\( 3=a_{1}+7d \)

\( 3=a_{1}+7 \cdot 10 \)

\( 3=a_{1}+70 \)

\( a_{1}=-67 \)


ПОЗЖЕ


Задачи с 30 по 40 умеренно сложные.

Уровень сложности 6 из 10.





Задача 30 (Арифметическая прогрессия)

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 179.
Найти первые три члена этой прогрессии.


  

\( a_{1}=11 , a_{2}=7 , a_{3}=3 \)

или

\( a_{1}=3 , a_{2}=7 , a_{3}=11 \)

Составим систему уравнений (*)

\( \left\{\begin{matrix} a_{1}+a_{2}+a_{3}=21 & & \\ a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2=179 & & \end{matrix}\right. \)

Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \) , значит

\(a_{2}=a_{1}+d(2-1)= a_{1}+d \)

\(a_{3}=a_{1}+d(3-1)= a_{1}+2d \)

Вставим в систему уравнений (*) вместо второго члена \( (a_{1}+d) \)

а вместо третьего \( (a_{1}+2d) \)

\( \left\{\begin{matrix} a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=21 & & \\ a_{1}^2+(a_{1}+d)^2+(a_{1}+2d)^2=179 & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3a_{1}+3d=21 & & \\ a_{1}^2+a_{1}^2+2a_{1}d+d^2+ a_{1}^2+4a_{1}d+4d^2 =179 & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} 3(a_{1}+d)=21 & & \\ 3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179 & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} a_{1}+d=7 & & \\ 3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179 & & \end{matrix}\right. \)

\( \left\{\begin{matrix} d=7-a_{1} & & \\ 3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179 & & \end{matrix}\right. \)

\( 3a_{1}^2+6a_{1}(7-a_{1})+5(7-a_{1})^2 =179 \)

\( 3a_{1}^2+42a_{1}-6a_{1}^2+5(49-14a_{1}+a_{1}^2) =179 \)

\( -3a_{1}^2+42a_{1}+245-70a_{1}+5a_{1}^2 =179 \)

\(2a_{1}^2-28a_{1}+66=0 \)

\(a_{1}^2-14a_{1}+33=0 \)

\( D=64 \)

\(a_{11}=\dfrac{14+8}{2}=11 \ \ \ \ \ \ d_{1}=7-a_{1}=7-11=-4 \)

\(a_{12}=\dfrac{14-8}{2}=3 \ \ \ \ \ \ d_{2}=7-a_{1}=7-3=4 \)

Получается, что эта задача имеет два решения:

\( a_{1}=11 , a_{2}=7 , a_{3}=3 \)

или

\( a_{1}=3 , a_{2}=7 , a_{3}=11 \)


ПОЗЖЕ