Задачи на арифметическую прогрессию.
Перейти к самым простым задачам
Перейти к простым задачам
Перейти к задачам средней сложности
Перейти к умеренно сложным
Теория.
Возрастающая арифметическая прогрессия это ряд чисел, где каждое последующее число больше предыдущего на \(d \)
Пример:
\(1;4;7;10;13 \)
\(d=3\)
\(d\) это разность арифметической прогрессии
Убывающая арифметическая прогрессия это ряд чисел где каждое последующее число меньше предыдущего на \( |d| \)
Формула \(n\)-ного члена:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Задачи с 1 по 10 максимально простые.
Уровень сложности 0 из 10.
Задача 1:
Назовите следующее число:
\( 1;3;5;7 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Каждое следующее число больше предыдущего на 2
\( 7+2=9 \)
Репетитор по математике
8 916 478 10 32
Задача 2 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_1=1 \), а ее разность \(d=2 . \)
Найти \(a_2\)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(a_2=a_1+d\)
\(a_2=1+2=3 \)
Задача 3 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_1=5 \), а ее разность \(d=1 . \)
Найти \(a_2\)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(a_2=a_1+d\)
\(a_2=5+1=6 \)
Задача 4 (Арифметическая прогрессия)
Второй член арифметической прогрессии \(a_2=15 \), а ее разность \(d=5 . \)
Найти \(a_1\)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(a_2=a_1+d\)
\(15=a_1+5\)
\(15-5=a_1\)
\(a_1=10\)
Задача 5 (Арифметическая прогрессия)
Второй член арифметической прогрессии \(a_2=15 \), а ее разность \(d=100 . \)
Найти \(a_3\)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(a_2=a_1+d\)
\(a_3=a_2+d\)
\(a_3=15+100 \)
\(a_3=115 \)
Задача 6 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=4 \), а ее разность \(d=6 . \)
Найти десятый член арифметической прогрессии \(a_{10} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам нужен десятый член, значит \( n=10 \)
Вставим числа в формулу:
\(a_{10}=4+6(10-1) \)
\(a_{10}=4+6 \cdot 9 =4+54=58 \)
\(a_{10}=58 \)
Задача 7 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=-2 \), а ее разность \(d=3 . \)
Найдите шестой член арифметической прогрессии \(a_{6} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам нужен шестой член, значит \( n=6 \)
Вставим числа в формулу:
\(a_{6}=-2+3(6-1) \)
\(a_{6}=-2+3 \cdot 5 =-2+15=13 \)
\(a_{6}=13 \)
Задача 8 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=21 \), а ее разность \(d=-2 . \)
Найдите восьмой член арифметической прогрессии \(a_{8} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам нужен восьмой член, значит \( n=8 \)
Вставим числа в формулу:
\(a_{8}=21-2(8-1) \)
\(a_{8}=21-2 \cdot 7 =21-14=7 \)
\(a_{8}=7 \)
Задача 9 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=18 \), а ее разность \(d=-4 . \)
Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии \(a_{15} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам нужен пятнадцатый член, значит \( n=15 \)
Вставим числа в формулу:
\(a_{15}=18-4(15-1) \)
\(a_{15}=18-4 \cdot 14 =18-56=-38 \)
\(a_{15}=-38 \)
Задача 10 (Арифметическая прогрессия)
Первый член арифметической прогрессии \(a_{1}=-15 \), а ее разность \(d=-10 . \)
Найдите четырнадцатый член арифметической прогрессии \(a_{14} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам нужен четырнадцатый член, значит \( n=14 \)
Вставим числа в формулу:
\(a_{14}=-15-10(14-1) \)
\(a_{14}=-15-10 \cdot 13 =-15-130=-145 \)
\(a_{14}=-145 \)
Задачи с 11 по 20 простые.
Уровень сложности 1 из 10.
Задача 11 (Арифметическая прогрессия)
Шестой член арифметической прогрессии равен 18, а ее разность \( d=2 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам дан шестой член, значит \( n=6 \)
Вставим числа в формулу:
\( 18=a_{1}+2\cdot(6-1) \)
\( 18=a_{1}+2\cdot 5 \)
\( 18=a_{1}+10 \)
\( 18-10=a_{1} \)
\( 8=a_{1} \)
\( a_{1}=8 \)
Задача 12 (Арифметическая прогрессия)
Тринадцатый член арифметической прогрессии равен 180, а ее разность \( d=2,5 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам дан тринадцатый член, значит \( n=13 \)
Вставим числа в формулу:
\( 180=a_{1}+2,5\cdot(13-1) \)
\( 180=a_{1}+2,5\cdot 12 \)
\( 180=a_{1}+30 \)
\( 180-30=a_{1} \)
\( 150=a_{1} \)
\( a_{1}=150 \)
Задача 13 (Арифметическая прогрессия)
Шестнадцатый член арифметической прогрессии равен 2, а ее разность \( d=3,2 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам дан шестнадцатый член, значит \( n=16 \)
Вставим числа в формулу:
\( 2=a_{1}+3,2\cdot(16-1) \)
\( 2=a_{1}+3,2\cdot 15 \)
\( 2=a_{1}+48 \)
\( 2-48=a_{1} \)
\( -46=a_{1} \)
\( a_{1}=-46 \)
Задача 14 (Арифметическая прогрессия)
Восьмой член убывающей арифметической прогрессии равен 12, а ее разность \( d=-7,8 . \)
Найдите первый член арифметической прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам дан восьмой член, значит \( n=8 \)
Вставим числа в формулу:
\( 12=a_{1}-7,8\cdot(8-1) \)
\( 12=a_{1}-7,8\cdot 7 \)
\( 12=a_{1}- 54,6 \)
\( 12+54,6=a_{1} \)
\( 66,6=a_{1} \)
\( a_{1}=66,6\)
Задача 15 (Арифметическая прогрессия)
Девятнадцатый член убывающей арифметической прогрессии равен 0, а ее разность \( d=-17,3 . \)
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Нам дан девятнадцатый член, значит \( n=19 \)
Вставим числа в формулу:
\( 0=a_{1}-17,3\cdot(19-1) \)
\( 0=a_{1}-17,3\cdot 18 \)
\( 0=a_{1}-311,4 \)
\( 311,4=a_{1}\)
\( a_{1}=311,4 \)
Задача 16 (Арифметическая прогрессия)
Восемнадцатый член геометрической прогрессии равен 10, а девятнадцатый ее член равен 13.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Восемнадцатый девятнадцатый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)
\( d= a_{19}-a_{18} \)
\( d= 13-10=3 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Далее вставим в эту формулу \(d=3\) и любой из данных нам членов:
\(a_{18}=a_{1}+d(18-1) \)
\( 10=a_{1}+3(18-1) \)
\( 10=a_{1}+3 \cdot 17 \)
\( 10=a_{1}+51 \)
\( 10-51=a_{1} \)
\( -41=a_{1} \)
\( a_{1}=-41 \)
Задача 17 (Арифметическая прогрессия)
Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 3,4, а тринадцатый ее член равен 3,8.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Двенадцатый и тринадцатый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)
\( d= a_{13}-a_{12} \)
\( d= 3,8-3,4=0,4 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Далее вставим в эту формулу \(d=0,4\) и любой из данных нам членов:
\(a_{13}=a_{1}+d(13-1) \)
\( 3,8=a_{1}+0,4(13-1) \)
\( 3,8=a_{1}+0,4 \cdot 12 \)
\( 3,8=a_{1}+4,8 \)
\( 3,8-4,8=a_{1} \)
\( -1=a_{1} \)
\( a_{1}=-1 \)
Задача 18 (Арифметическая прогрессия)
Двадцать восьмой член арифметической прогрессии равен 77,3, а двадцать девятый ее член равен 54.
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Двадцать восьмой и двадцать девятый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)
\( d= a_{29}-a_{28} \)
\( d= 54-77,3=-23,3 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Далее вставим в эту формулу \(d=-23,3\) и любой из данных нам членов:
\(a_{29}=a_{1}+d(29-1) \)
\( 54=a_{1}-23,3(29-1) \)
\( 54=a_{1}-23,3 \cdot 28 \)
\( 54=a_{1}-652,4 \)
\( 54+652,4=a_{1} \)
\( 706,4=a_{1} \)
\( a_{1}=706,4 \)
Задача 19 (Арифметическая прогрессия)
Сорок третий член арифметической прогрессии равен -13,3, а сорок второй ее член равен -9,7 .
Найдите первый член этой прогрессии \(a_{1} . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Двадцать восьмой и двадцать девятый члены являются соседними, поэтому их разность будет равна \( d \)
\( d= a_{43}-a_{42} \)
\( d= -13,3-(-9,7)= -3,6 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \)
Далее вставим в эту формулу \(d=-3,6\) и любой из данных нам членов:
\(a_{42}=a_{1}+d(42-1) \)
\( -9,7=a_{1}-3,6(42-1) \)
\( -9,7=a_{1}-3,6 \cdot 41 \)
\( -9,7=a_{1}-147,6 \)
\( -9,7+147,6=a_{1} \)
\( 137,9=a_{1} \)
\( a_{1}=137,9 \)
Задачи с 20 по 30 средней сложности.
Уровень сложности 4 из 10.
Задача 20 (Арифметическая прогрессия)
Пятый член арифметической прогрессии равен 8, а семнадцатый ее член равен 23.
Найдите разность этой прогрессии \( d . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( a_5=8 \)
\( a_{17}=23 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена
и вставим туда числа:
\( \left\{\begin{matrix}
a_{5}=a_{1}+d(5-1)
& & \\
a_{17}=a_{1}+d(17-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
8=a_{1}+d(5-1)
& & \\
23=a_{1}+d(17-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
8=a_{1}+4d
& & \\
23=a_{1}+16d
& &
\end{matrix}\right. \)
Домножим первое уравнение на \( -1 \):
\( \left\{\begin{matrix}
-8=-a_{1}-4d
& & \\
23=a_{1}+16d
& &
\end{matrix}\right. \)
Сложим эти два уравнения
(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)
\( (-8)+(23)=(-a_{1}-4d)+(a_{1}+16d) \)
\( 15=-a_{1}-4d+a_{1}+16d \)
\( 15=12d \)
\( d=1,25 \)
Задача 21 (Арифметическая прогрессия)
Восьмой член арифметической прогрессии равен 3, а одиннадцатый ее член равен 33.
Найдите разность этой прогрессии \( d . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( a_8=3 \)
\( a_{11}=33 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена
и вставим туда числа:
\( \left\{\begin{matrix}
a_{8}=a_{1}+d(8-1)
& & \\
a_{11}=a_{1}+d(11-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3=a_{1}+d(8-1)
& & \\
33=a_{1}+d(11-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3=a_{1}+7d
& & \\
33=a_{1}+10d
& &
\end{matrix}\right. \)
Домножим первое уравнение на \( -1 \):
\( \left\{\begin{matrix}
-3=-a_{1}-7d
& & \\
33=a_{1}+10d
& &
\end{matrix}\right. \)
Сложим эти два уравнения
(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)
\( (-3)+(33)=(-a_{1}-7d)+(a_{1}+10d) \)
\( 30=-a_{1}-7d+a_{1}+10d \)
\( 30=3d \)
\( d=10 \)
Задача 22 (Арифметическая прогрессия)
Восьмой член арифметической прогрессии равен 3, а одиннадцатый ее член равен 33.
Найдите первый член этой прогрессии \( a_1 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( a_8=3 \)
\( a_{11}=33 \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии для каждого члена
и вставим туда числа:
\( \left\{\begin{matrix}
a_{8}=a_{1}+d(8-1)
& & \\
a_{11}=a_{1}+d(11-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3=a_{1}+d(8-1)
& & \\
33=a_{1}+d(11-1)
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3=a_{1}+7d
& & \\
33=a_{1}+10d
& &
\end{matrix}\right. \)
Домножим первое уравнение на \( -1 \):
\( \left\{\begin{matrix}
-3=-a_{1}-7d
& & \\
33=a_{1}+10d
& &
\end{matrix}\right. \)
Сложим эти два уравнения
(Левая часть первого ур-я+левая часть второго ур-я= правая часть первого ур-я+правая часть второго ур-я)
\( (-3)+(33)=(-a_{1}-7d)+(a_{1}+10d) \)
\( 30=-a_{1}-7d+a_{1}+10d \)
\( 30=3d \)
\( d=10 \)
Подставим \( d=10 \) в формулу \(n\)-ного члена:
\( a_{8}=a_{1}+d(8-1) \)
\( 3=a_{1}+7d \)
\( 3=a_{1}+7 \cdot 10 \)
\( 3=a_{1}+70 \)
\( a_{1}=-67 \)
Задачи с 30 по 40 умеренно сложные.
Уровень сложности 6 из 10.
Задача 30 (Арифметическая прогрессия)
Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 179.
Найти первые три члена этой прогрессии.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( a_{1}=11 , a_{2}=7 , a_{3}=3 \)
или
\( a_{1}=3 , a_{2}=7 , a_{3}=11 \)
Составим систему уравнений (*)
\( \left\{\begin{matrix}
a_{1}+a_{2}+a_{3}=21
& & \\
a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2=179
& &
\end{matrix}\right. \)
Запишем формулу \(n\)-ного члена арифметической прогрессии
\(a_{n}=a_{1}+d(n-1) \) , значит
\(a_{2}=a_{1}+d(2-1)= a_{1}+d \)
\(a_{3}=a_{1}+d(3-1)= a_{1}+2d \)
Вставим в систему уравнений (*) вместо второго члена \( (a_{1}+d) \)
а вместо третьего \( (a_{1}+2d) \)
\( \left\{\begin{matrix}
a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=21
& & \\
a_{1}^2+(a_{1}+d)^2+(a_{1}+2d)^2=179
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3a_{1}+3d=21
& & \\
a_{1}^2+a_{1}^2+2a_{1}d+d^2+ a_{1}^2+4a_{1}d+4d^2 =179
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
3(a_{1}+d)=21
& & \\
3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
a_{1}+d=7
& & \\
3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
d=7-a_{1}
& & \\
3a_{1}^2+6a_{1}d+5d^2 =179
& &
\end{matrix}\right. \)
\(
3a_{1}^2+6a_{1}(7-a_{1})+5(7-a_{1})^2 =179
\)
\( 3a_{1}^2+42a_{1}-6a_{1}^2+5(49-14a_{1}+a_{1}^2) =179 \)
\( -3a_{1}^2+42a_{1}+245-70a_{1}+5a_{1}^2 =179 \)
\(2a_{1}^2-28a_{1}+66=0 \)
\(a_{1}^2-14a_{1}+33=0 \)
\( D=64 \)
\(a_{11}=\dfrac{14+8}{2}=11 \ \ \ \ \ \ d_{1}=7-a_{1}=7-11=-4 \)
\(a_{12}=\dfrac{14-8}{2}=3 \ \ \ \ \ \ d_{2}=7-a_{1}=7-3=4 \)
Получается, что эта задача имеет два решения:
\( a_{1}=11 , a_{2}=7 , a_{3}=3 \)
или
\( a_{1}=3 , a_{2}=7 , a_{3}=11 \)