Тело,брошенное под углом к горизонту .
\(y=y_0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(x=x_0+v_{0}cos \; (\alpha)\cdot t \)
\(\alpha \) -угол, под которым брошено тело
\(v_{0}\) - начальная скорость тела
Задача 1. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Тело брошено с поверхности земли под углом \( \alpha=30^0 \) к горизонту, со скоростью \(v_0=10 м/с \).
Какое время тело будет находиться в полете?
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=30^0 \)
\( v_0=10 м/с \)
\(t-? \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(t=\dfrac{2 \cdot 10 м/с \cdot sin \; 30^0}{10м/с^2}=1 с \)
Ответ: \( t=1 с \)
Задача 2. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Найти время полета камня, если он брошен с
поверхности земли под углом \( \alpha=45^0 \) к горизонту, со скоростью \(v_0=10 м/с \)
\(g=10м/с^2 . \)
Ответ округлить до сотых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=45^0 \)
\( v_0=10 м/с \)
\(t-? \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(t=\dfrac{2 \cdot 10 м/с \cdot sin \; 45^0}{10м/с^2}=1,41421 с \approx 1,41 с \)
Ответ: \( t=1,41 с \)
Задача 3. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Теннисный мячик бросили с поверхности земли под углом \( \alpha=60^0 \) к горизонту,
со скоростью \(v_0=10 м/с . \)
Найти время полета мячика.
\(g=10м/с^2 . \)
Ответ округлить до сотых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=60^0 \)
\( v_0=10 м/с \)
\(t-? \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(t=\dfrac{2 \cdot 10 м/с \cdot sin \; 60^0}{10м/с^2}=1,73205 с \approx 1,73 с \)
Ответ: \( t=1,73 с \)
Задача 4. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Спортивное ядро бросили с поверхности земли под углом \( \alpha=45^0 \) к горизонту,
со скоростью \(v_0=20 м/с . \)
Найти дальность полета ядра.
\(g=10м/с^2 . \)
Ответ округлить до сотых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Далее запишем формулу дальности для тела, брошенного под углом к горизонту:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot t \)
и вставим в нее формулу для времени полета:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot \dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(l= \dfrac{2v_{0}^2 sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\( 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha = sin \; (2\alpha) \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
По этой формуле мы можем находить дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=45^0 \)
\( v_0=20 м/с \)
\(l-? \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{(20 м/с)^2 \cdot sin \; (2 \cdot 45^0) }{10м/с^2}=40м \)
Ответ: \(l= 40м \)
Задача 5. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Снаряд выпущен из артиллерийского орудия под углом \( \alpha=15^0 \) к горизонту.
Начальная скорость снаряда \(v_0=700 м/с . \)
Найти дальность полета снаряда .
Ответ дать в километрах.
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Далее запишем формулу дальности для тела, брошенного под углом к горизонту:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot t \)
и вставим в нее формулу для времени полета:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot \dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(l= \dfrac{2v_{0}^2 sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\( 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha = sin \; (2\alpha) \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
По этой формуле мы можем находить дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=15^0 \)
\( v_0=700 м/с \)
\(l-? \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{(700 м/с)^2 \cdot sin \; (2 \cdot 15^0) }{10м/с^2}=24500м \)
\(24500м=24,5 км \)
Ответ: \(l= 24,5 км \)
Задача 6. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
На каком расстоянии от места выстрела упадет
снаряд, выпущенный из артиллерийского орудия под углом \( \alpha=45^0 \) к горизонту.
Начальная скорость снаряда \(v_0=700 м/с . \)
Ответ дать в километрах.
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Далее запишем формулу дальности для тела, брошенного под углом к горизонту:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot t \)
и вставим в нее формулу для времени полета:
\(l=v_{0}cos \; (\alpha)\cdot \dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\(l= \dfrac{2v_{0}^2 sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha }{g} \)
\( 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha = sin \; (2\alpha) \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
По этой формуле мы можем находить дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=45^0 \)
\( v_0=700 м/с \)
\(l-? \)
\(l= \dfrac{v_{0}^2 \cdot sin \; 2\alpha }{g} \)
\(l= \dfrac{(700 м/с)^2 \cdot sin \; (2 \cdot 45^0) }{10м/с^2}=49000м \)
\(49000м=49 км \)
Ответ: \(l= 49 км \)
Задача 7. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Тело брошено с поверхности земли под углом \( \alpha=30^0 \) к горизонту.
Известно, что тело находилось в полете время \(t=5 c\).
Найти начальную скорость тела \(v_0 . \)
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Дано:
\( \alpha=30^0 \)
\( t=5 c \)
\(v_{0}-? \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
\( v_0= \dfrac{ gt }{2sin \; \alpha} \)
\( v_0= \dfrac{ 10м/с^2 \cdot 5с }{2sin \; 30^0}=50 м/с \)
Ответ: \( v_0=50 м/с \)
Задача 12. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Спортсмен стреляет из лука с поверхности земли под углом \( \alpha=30^0 \) к горизонту.
Начальная скорость стрелы \(v_0=40 м/с \).
На какой максимальной высоте окажется стрела в процессе полета?
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Максимальная высота будет достигнута в середине полета
Поэтому делим время полета на 2
\(t_{половины \; полета}=\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
и подставляем в
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot \dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} -\dfrac{g \left (\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \right) ^2}{2} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Далее приводим дроби к одному знаменателю:
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha-v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Дано:
\( \alpha=30^0 \)
\( v_0=40 м/с \)
\(H_{max}-? \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(H_{max}= \dfrac{(40 м/с)^2 sin^2 \;30^0 }{2\cdot 10м/с^2}=20м \)
Ответ: \(H_{max}=20м \)
Задача 13. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Ствол зенитной установки наклонен под углом \( \alpha=60^0 \) к горизонту.
Начальная скорость снаряда при выходе из ствола \(v_0=400 м/с \).
На какой минимальной высоте может находиться самолет противника, чтобы полностью исключить
вероятность поражения этой зенитной установкой?
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Максимальная высота будет достигнута в середине полета
Поэтому делим время полета на 2
\(t_{половины \; полета}=\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
и подставляем в
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot \dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} -\dfrac{g \left (\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \right) ^2}{2} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Далее приводим дроби к одному знаменателю:
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha-v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Дано:
\( \alpha=60^0 \)
\( v_0=40 м/с \)
\(H-? \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(H_{max}= \dfrac{(400 м/с)^2 sin^2 \;60^0 }{2\cdot 10м/с^2}=6000м \)
Максимальная высота снаряда является минимально возможной высотой нахождения самолета.
Это значит, что самолет должен лететь выше \(6000м\)
Ответ: \(H>6000м \)
Задача 14. \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; kornev-school.ru \)
Мальчик , лежа в траве,бросает камень под углом к горизонту со скоростью \(v_0=10 м/с \).
При этом расстояние от камня до поверхности Земли, в тот момент когда камень находится в верхней точке
траектории составляет \( H_{max}=2,5 м \)
Под каким углом к горизонту был брошен камень?
\(g=10м/с^2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \alpha = 45^0 \)
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
\(y=0+v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси "y"
будет равна нулю
\(0=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2}=0 \)
Вынесем время за скобки :
\( t( v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2})=0 \)
\(t=0 \;\;\;\; или \;\;\;\; v_{0}sin \; \alpha -\dfrac{gt}{2}=0 \)
\( v_{0}sin \; \alpha =\dfrac{gt}{2} \)
\(t=\dfrac{2v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Максимальная высота будет достигнута в середине полета
Поэтому делим время полета на 2
\(t_{половины \; полета}=\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \)
и подставляем в
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot t -\dfrac{gt^2}{2} \)
\(y=v_{0}sin \; (\alpha)\cdot \dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} -\dfrac{g \left (\dfrac{v_{0}sin \; \alpha}{g} \right) ^2}{2} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Далее приводим дроби к одному знаменателю:
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} - \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{2v_{0}^2 sin^2 \; \alpha-v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(y= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
Дано:
\( H_{max}=2,5 м \)
\( v_0=10 м/с \)
\(\alpha -? \)
\(H_{max}= \dfrac{v_{0}^2 sin^2 \; \alpha}{2g} \)
\(\dfrac{ 2g H_{max} }{v_{0}^2 }=sin^2 \; \alpha \)
\( sin \; \alpha=\sqrt {\dfrac{ 2g H_{max} }{v_{0}^2 } }=\dfrac{ \sqrt {2g H_{max} } }{v_{0} } \)
\( sin \; \alpha=\dfrac{ \sqrt {2\cdot 10м/с^2 \cdot 2,5м } }{10 м/с } =\dfrac{ \sqrt {50 } }{10 }= \dfrac{ \sqrt {25 } \cdot \sqrt {2 } }{10 } = \dfrac{ 5 \cdot \sqrt {2 } }{10 } =\dfrac{ \sqrt {2 } }{2 } \)
\( sin \; \alpha =\dfrac{ \sqrt {2 } }{2 } \)
\( \alpha = 45^0 \)
Ответ: \( \alpha = 45^0 \)