Репетитор
по физике

916 478 1032



П
Р
О
Г
Р
А
М
М
И
Р
О
В
А
Н
И
Е
Репетитор
916 478 1032


Репетитор
по физике

916 478 1032


Репетитор
по алгебре

916 478 1032


Репетитор
по физике

916 478 1032



Теорема косинусов



  Теорема косинусов
Для любого треугольника справедливо следующее соотношение:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)


Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон вычесть удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Кликнув по этому тексту мы сразу перейдем к задачам на нахождение угла по трем сторонам треугольника, используя теорему косинусов


Простейшие задачи на теорему косинусов:


Задача 1. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
  Теорема косинусов
В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=7 , c=15, \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=13 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=7^2+15^2-2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( a^2=49+225-2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0,5 \)

\( a^2=274- 7 \cdot 15 \)

\( a^2=274- 105 \)

\( a^2=169 \)

\( a=13 \)

Ответ: \( a=13 \)


ПОЗЖЕ




Репетитор по геометрии

8 916 478 10 32



Задача 2. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
  Теорема косинусов
В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=3 , \; c=8, \; \alpha=60^0 ,\; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=7 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=3^2+8^2-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( a^2=9+64-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 0,5 \)

\( a^2=73- 3 \cdot 8 \)

\( a^2=73- 24 \)

\( a^2=49 \)

\( a=7 \)

Ответ: \( a=7 \)


ПОЗЖЕ


Задача 3. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
Теорема косинусов
В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=6 , \; c=16, \; \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=14 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=6^2+16^2-2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( a^2=36+256-2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot 0,5 \)

\( a^2=292- 6 \cdot 16 \)

\( a^2=292-96 \)

\( a^2=196 \)

\( a=14 \)

Ответ: \( a=14 \)


ПОЗЖЕ



  Теорема косинусов

4.  В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=2 , \; c=\sqrt{3}, \; \alpha=30^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=1 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=2^2+(\sqrt{3})^2-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot cos \;\; 30^0 \)

\( a^2=4+3-2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( a^2=7-2 \cdot 3 \)

\( a^2=7-6 \)

\( a^2=1 \)

\( a=1 \)

Ответ: \( a=1 \)


ПОЗЖЕ



  Теорема косинусов

5.  В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=4 , \; c=2\sqrt{3}, \; \alpha=30^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=2 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=4^2+(2\sqrt{3})^2-2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos \;\; 30^0 \)

\( a^2=16+4\cdot3-2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( a^2=16+12-8 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)

\( a^2= 28-24 \)

\( a^2=4 \)

\( a=2 \)

Ответ: \( a=2 \)


ПОЗЖЕ



  Задача на теорему косинусов

6.  В треугольнике, изображенном на рисунке \( a=13 , c=15, \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(b . \)


  

Ответ: \( b_1=7 \;\;\; ; \;\;\;b_2=8 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 13^2=b^2+15^2-2 \cdot b \cdot 15 \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( 169=b^2+15^2-2 \cdot b \cdot 15 \cdot 0,5 \)

\(169=b^2+225-15b \)

\(b^2+225-15b-169=0 \)

\(b^2-15b+56=0 \)

\(D=(-15)^2-4\cdot 1\cdot 56=225-224=1\)

\(b_1=\dfrac{-(-15)+\sqrt{1}}{2}=8\)

\(b_2=\dfrac{-(-15)-\sqrt{1}}{2}=7\)

эта задача имеет два решения, сторона \(b\) может равняться как семи так и восьми, если мы подставим вместо \(b\) семь или восемь в формулу теоремы косинусов , то оба эти ответа будут справедливыми.

Ответ: \( b_1=7 \;\;\; ; \;\;\;b_2=8 \)


ПОЗЖЕ



  Теорема косинусов

7.  В треугольнике, изображенном на рисунке \(a=7, \; b=3 , \; \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(c . \)


  

Ответ: \( с=8 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 7^2=3^2+c^2-2 \cdot 3 \cdot c \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( 49=9+c^2-2 \cdot 3 \cdot c \cdot 0,5 \)

\(49-9=c^2-3c \)

\(40=c^2-3c \)

\(c^2-3c-40=0 \)

\(D=(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-40)=9+160=169 \)

\( c_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{169}}{2}= \dfrac{3+13}{2}= 8 \)

\( c_2=\dfrac{-(-3)-\sqrt{169}}{2}= \dfrac{3-13}{2}= -5 \)

\(с_2=-5 \) не удовлетворяет условию задачи, так как сторона треугольника не может быть отрицательной

Ответ: \( с=8 \)


ПОЗЖЕ



  Теорема косинусов

8.  В треугольнике, изображенном на рисунке \(a=14, \; b=6 , \; \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(c . \)


  

Ответ: \( с=16 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 14^2=6^2+c^2-2 \cdot 6 \cdot c \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( 196=36+c^2-2 \cdot 6 \cdot c \cdot 0,5 \)

\(196-36=c^2-6c \)

\(160=c^2-6c \)

\(c^2-6c-160=0 \)

\(D=(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot (-160)=36+640=676 \)

\( c_1=\dfrac{-(-6)+\sqrt{676}}{2}= \dfrac{6+26}{2}=16 \)

\( c_2=\dfrac{-(-6)-\sqrt{676}}{2}= \dfrac{6-26}{2}=-10 \)

\(с_2=-10 \) не удовлетворяет условию задачи, так как сторона треугольника не может быть отрицательной

Ответ: \( c=16 \)


ПОЗЖЕ



  Теорема косинусов

9.  В треугольнике, изображенном на рисунке \(a=1, \; c=\sqrt{3} , \; \alpha=30^0 , \; \) найти сторону \(b . \)


  

Ответ: \( b_1=2 \;\;\; ; \;\;\;b_2=1 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 1^2=b^2+(\sqrt{3})^2-2 \cdot b \cdot \sqrt{3} \cdot cos \;\; 30^0 \)

\( 1=b^2+3-2 \cdot b \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( 1-3=b^2- b \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)

\( -2=b^2- b \cdot 3 \)

\( b^2- 3b+2=0 \)

\(D=(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2=9-8=1 \)

\( b_1=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2}= \dfrac{3+1}{2}=2 \)

\( b_2=\dfrac{-(-6)-\sqrt{676}}{2}= \dfrac{3-1}{2}=1 \)

эта задача имеет два решения, сторона \(b\) может равняться как двум так и одному, если мы подставим вместо \(b\) два или один в формулу теоремы косинусов , то оба эти ответа будут справедливыми.

Ответ: \( b_1=2 \;\;\; ; \;\;\;b_2=1 \)


ПОЗЖЕ






  Задача на теорему косинусов

15.  В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=4 , c=2+\sqrt{37}, \alpha=60^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=7 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=4^2+(2+\sqrt{37})^2-2 \cdot 4 \cdot (2+\sqrt{37}) \cdot cos \;\; 60^0 \)

\( a^2=16+4+2\cdot 2\cdot \sqrt{37}+37 -2 \cdot 4 \cdot (2+\sqrt{37}) \cdot 0,5 \)

\( a^2=20+4 \sqrt{37}+37 - 4 \cdot (2+\sqrt{37}) \)

\( a^2=57+4 \sqrt{37} - 8-4\sqrt{37} \)

\( a^2=49 \)

\( a=7 \)

Ответ: \( a=7 \)


ПОЗЖЕ






  Задача на теорему косинусов

16.  В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=5\sqrt{2} , c=5+\sqrt{11}, \alpha=30^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=6 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=(5\sqrt{2})^2+(5+\sqrt{11})^2-2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (5+\sqrt{11}) \cdot cos \;\; 45^0 \)

\( a^2=25 \cdot 2+ 25+2\cdot 5 \cdot \sqrt{11}+11 -2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (5+\sqrt{11}) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( a^2=50+ 25+10 \sqrt{11}+11 - 5\sqrt{2} \cdot (5+\sqrt{11}) \cdot \sqrt{2} \)

\( a^2=86+10 \sqrt{11} - 5\cdot 2 \cdot (5+\sqrt{11}) \)

\( a^2=86+10 \sqrt{11} - 10 \cdot (5+\sqrt{11}) \)

\( a^2=86+10 \sqrt{11} - 50- 10 \sqrt{11} \)

\( a^2=36 \)

\( a=6 \)



Ответ: \( a=6 \)


ПОЗЖЕ





Задача 20. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
  Задача на теорему косинусов

В треугольнике, изображенном на рисунке \( b=35 , c=21, \alpha=120^0 , \; \) найти сторону \(a . \)


  

Ответ: \( a=49 \)

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( a^2=35^2+21^2-2 \cdot 35 \cdot 21 \cdot cos \;\; 120^0 \)

\( a^2=1225+441-2 \cdot 35 \cdot 21 \cdot (-0,5) \)

\( a^2=1666 +35 \cdot 21 \)

\( a^2=1666 +735 \)

\( a^2= 2401 \)

\( a_1= 49 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a_2= -49 \;не \; подходит\)



Ответ: \( a=49 \)


ПОЗЖЕ




Задачи на нахождение угла по трем сторонам треугольника
с применением теоремы косинусов




Задача 22. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
  Теорема косинусов
В треугольнике, изображенном на рисунке \(a=13, b=7 , c=15 , \; \) найти угол \(\alpha . \)


  

Ответ: \( \alpha = 60^0 \)

Для нахождения угла \(\alpha \) сначала вычислим его косинус, с помощью теоремы косинусов.

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 13^2=7^2+15^2-2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 169=49+225-2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot cos \;\; \alpha \)

\(169=274-210 \cdot cos \;\; \alpha \)

\(169-274=-210 \cdot cos \;\; \alpha \)

\(−105=-210 \cdot cos \;\; \alpha \)

\(\dfrac{-105}{-210}= cos \;\; \alpha \)

\(0,5= cos \;\; \alpha \)

\( cos \;\; \alpha =0,5 \)

Косинус какого угла равен \(0,5 ?\)

Косинус \(60^0\) равен \(0,5 \)

значит угол \( \alpha = 60^0 \)

Ответ: \( \alpha = 60^0 \)


ПОЗЖЕ



Задача 23. (Решить задачу, применив теорему косинусов)
  Теорема косинусов
В треугольнике, изображенном на рисунке \(a=7, b=3 , c=8 , \; \) найти угол \(\alpha . \)


  

Ответ: \( \alpha = 60^0 \)

Для нахождения угла \(\alpha \) сначала вычислим его косинус, с помощью теоремы косинусов.

Запишем теорему косинусов для этой задачи:

\( a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 7^2=3^2+8^2-2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 49=9+64-48 \cdot cos \;\; \alpha \)

\( 49-9-64=-48 \cdot cos \;\; \alpha \)

\( -24=-48 \cdot cos \;\; \alpha \)

\( \dfrac{-24}{-48}= cos \;\; \alpha \)

\(0,5= cos \;\; \alpha \)

\( cos \;\; \alpha =0,5 \)

Косинус какого угла равен \(0,5 ?\)

Косинус \(60^0\) равен \(0,5 \)

значит угол \( \alpha = 60^0 \)

Ответ: \( \alpha = 60^0 \)


ПОЗЖЕ