Задачи на теорию вероятностей

ЕГЭ тип 5

Задача 1:

На лодочной станции находятся 12 лодок трёх моделей: 5 лодок модели «Нептун», 4 лодки модели «Орион», 3 лодки модели «Звезда». Случайным образом выбирают одну лодку. Какова вероятность, что выбранная лодка не модель «Звезда»?
Показать ответ Показать решение

\( 0,75 \)

Решение:

Общее количество лодок - 12

Событие, что будет выбрана «Звезда» и событие, что она не будет выбрана являются противоположными.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице (теорема)

\( P_{выбран \ «Звезда» }+P_{выбран \ не \ «Звезда» }=1 \)

\( P_{выбран \ не \ «Звезда»}=1-P_{выбран \ «Звезда»} \)

\( P_{выбран \ «Звезда» }= \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0,25 \)

\( P_{выбран \ не \ «Звезда»}=1-0,25=0,75 \)

Ответ: \( 0,75 \)

Задача 2:

Космонавт готовится к полёту на Международную космическую станцию (МКС). В рамках эксперимента на борту космического корабля находится аквариум с электрическим угрём. Угорь может случайным образом генерировать электрические разряды, которые могут повлиять на работу оборудования. Вероятность того, что угорь создаст разряд в течение часа, равна 0,3.

Космонавт должен выполнить два задания:

Проверить систему жизнеобеспечения (это занимает 2 часа).

Провести эксперимент с растениями (это занимает 1 час).

Если угорь создаст разряд во время выполнения задания, то задание придётся переделывать. Какова вероятность, что угорь не создаст ни одного разряда за всё время выполнения заданий?
Показать ответ Показать решение

\( P= 0,343 \)

Решение:

Общее время выполнения заданий:

2 часа+1 час=3 часа.

Событие, что угорь создаст разряд и событие того, что он не создаст разряд являются противоположными.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице (теорема)

\( P_{создаст}+P_{не \ создаст}=1 \)

\( P_{не \ создаст}=1-P_{создаст} \)

Вероятность, что угорь не создаст разряд за 1 час:

\( P_{не \ создаст}=1−0,3=0,7. \)

Вероятность того создаст он или не создаст заряд за второй час никак не зависит от того, создаст или не создаст заряд за первый час, это независимые события.

Вероятность наступления независимых событий равна произведению их вероятностей. (теорема)

Вероятность, что он не создаст разряд за 3 часа:

\(P=0,7⋅0,7⋅0,7=0,343 \).

Ответ: \( P= 0,343 \)

Задача 3:

На заводе работают три станка, которые производят детали. Первый станок производит 50% всех деталей, второй — 30%, а третий — 20%. Вероятность того, что деталь, произведенная первым станком, окажется бракованной, составляет 4%. Для второго станка эта вероятность равна 5%, а для третьего — 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной?
Показать ответ Показать решение

\( 0,055 \)

Решение:

Пусть всего выпустили \( x \) деталей, тогда:

На первом станке выпустили \( 0,5x \) деталей

Бракованных с первого станка \(0,04 \cdot ( 0,5x ) \)

На втором станке выпустили \( 0,3x \) деталей

Бракованных со второго станка \(0,05 \cdot ( 0,3x ) \)

На третьем станке выпустили \( 0,2x \) деталей

Бракованных с третьего станка \(0,1 \cdot ( 0,2x ) \)

\(P_{брак}=\dfrac{количество \ бракованных \ деталей}{общее \ количество \ деталей} \)

\(P_{брак}=\dfrac{0,04 \cdot ( 0,5x ) +0,05 \cdot ( 0,3x ) +0,1 \cdot ( 0,2x )}{x} \)

\(P_{брак}=\dfrac{0,02 x +0,015x + 0,02x }{x} \)

\(P_{брак}=\dfrac{0,02 x +0,015x + 0,02x }{x} \)

\(P_{брак}=\dfrac{0,055 x }{x} =0,055 \)

Ответ: \( 0,055 \)

Задача 4:

Имеется 5 морей: Красное море, Средиземное море, Черное море, Балтийское море и Карибское море. Туристическая компания случайным образом выбирает одно из этих морей для организации круиза. Известно, что: Вероятность выбрать Красное море равна 0,2.
Вероятность выбрать Средиземное море в 2 раза больше, чем Красное море.
Вероятность выбрать Черное море равна вероятности выбрать Балтийское море.
Вероятность выбрать Карибское море равна 0,1.
Найдите вероятность того, что будет выбрано Черное море.

Показать ответ Показать решение

\( 0,15 \)

Решение:

Обозначим вероятности:

P(Красное)=0,2.

P(Средиземное)=2⋅P(Красное)=2⋅0,2=0,4.

P(Черное)=P(Балтийское)=x.

P(Карибское)=0,1.

Сумма вероятностей полной группы событий равна единице(теорема)

\(0,2+0,4+x+x+0,1=1 \)

\(0,7+2x=1 \)

\(2x=0,3 \)

\(x=0,15 \)

Ответ: \( 0,15 \)