Простые пределы с корнями .

В этом разделе будут представлены пределы дробей, у которых в числителе и в знаменателе могут быть квадратные корни или корни других степеней

Во всех пределах

x

стремится к бесконечности

(x \to \infty)

, поэтому возникает неопределенность вида

\frac{\infty}{\infty}

Чтобы уйти от неопределенности мы должны найти старшую степень дроби , после чего разделить числитель и знаменатель на икс в старшей степени.

В первых заданиях будет сразу сказано на что нужно делить, это и будет икс в старшей степени

1. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на $x^{2}$ :

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 6 x - 18}{\sqrt{x^{4} + 4 x - 12}}$

Показать ответ Показать решение Видеорешение

$5$

Заметим, что при внесении $x^{2}$ под знак квадратного корня он превратится в $x^{4}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 6 x - 18}{\sqrt{x^{4} + 4 x - 12}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} - 6 x - 18}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{4} + 4 x - 12}}{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} - \frac{6 x}{x^{2}} - \frac{18}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} - \frac{12}{x^{4}}}} =$

$= lim_{x \to \infty} \frac{5 - {\frac{6}{x}}^{\to 0} - {\frac{18}{x^{2}}}^{\to 0}}{\sqrt{1 + {\frac{4}{x^{3}}}^{\to 0} - {\frac{12}{x^{4}}}^{\to 0}}} = lim_{x \to \infty} \frac{5}{\sqrt{1}} = 5$

ПОЗЖЕ

2. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на $x$ :

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x + 3} + \sqrt{x - 7}}{\sqrt{16 x^{2} + 2 x}}$

Показать ответ Показать решение Видеорешение

$0, 75$

Обратим внимание на то, что при внесении икса под знак квадратного корня мы обязаны возвести этот икс в квадрат

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x + 3} + \sqrt{x - 7}}{\sqrt{16 x^{2} + 2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 7 x + 3}}{x} + \frac{\sqrt{x - 7}}{x}}{\frac{\sqrt{16 x^{2} + 2 x}}{x}} =$

$= lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}}}{\sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + {\frac{7}{x}}^{\to 0} + {\frac{3}{x^{2}}}^{\to 0}} + \sqrt{{\frac{1}{x}}^{\to 0} - {\frac{7}{x^{2}}}^{\to 0}}}{\sqrt{16 + {\frac{2}{x}}^{\to 0}}} =$

$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0, 75$

ПОЗЖЕ

3. Вычислить предел, разделив числитель и знаменатель на $x^{2}$ :

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 18}}{\sqrt{16 x^{4} + 2 x}}$

Показать ответ Показать решение Видеорешение

$0$

Заметим, что при внесении $x^{2}$ под знак квадратного корня он превратится в $x^{4}$

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 18}}{\sqrt{16 x^{4} + 2 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 18}}{x^{2}}}{\frac{\sqrt{16 x^{4} + 2 x}}{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{4}} - \frac{8 x}{x^{4}} + \frac{18}{x^{4}}}}{\sqrt{\frac{16 x^{4}}{x^{4}} + \frac{2 x}{x^{4}}}} =$

$= lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{{\frac{2}{x^{2}}}^{\to 0} - {\frac{8}{x^{3}}}^{\to 0} + {\frac{18}{x^{4}}}^{\to 0}}}{\sqrt{16 + {\frac{2}{x^{3}}}^{\to 0}}} = \frac{\sqrt{0}}{\sqrt{16}} = 0$

ПОЗЖЕ