Текстовые задачи на движение по воде (ЕГЭ).
ЕГЭ тип 10
или задача №21 из ОГЭ
Рассмотрим задачу:
Хаусбот проплыл по течению 312 км, после чего развернулся и поплыл обратно против течения и спустя какое-то время вернулся в начальную точку. Весь путь занял 65 часов. Двигался постоянно, остановок не делал.
Чему равна его собственная скорость, если скорость течения равна 2 км/ч?
Во первых поясним, что значит словосочетание "собственная скорость" это его скорость в стоячей воде, без течения.
Такой тип задач легче решать с помощью таблицы.
Очевидно, что путь туда (по течению) равен 312 км, путь обратно (против течения) также равен 312 км, вносим эти данные в
таблицу.
Мы знаем, что по течению плыть быстрее, когда мы плывем по течению наша скорость относительно берега
равна сумме его собственной скорости и скорости течения,
то есть: \( \ \ \ \ v+2 \)
Также вписываем это в таблицу.
Когда плывем против течения наоборот вычитаем: \( \ \ \ \ v-2 \)
теперь вспомним самую первую формулу с которой мы познакомились еще в начальной школе:
\(S=v \cdot t \)
выразим время:
\( t=\dfrac{S}{v} \)
По течению \(S=312, \ а \ скорость \ равна \ v+2 \), вставляем это в формулу
\( t_{по \ течению \ (туда)}=\dfrac{312}{v+2} \)
дробь \(\dfrac{312}{v+2} \) также вписываем в таблицу,
эта дробь равна времени движения по течению
аналогично с движением против течения:
\( t_{против \ течения \ (обратно)}=\dfrac{312}{v-2} \)
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению (туда) | 312 | \( v+2 \) | \( \dfrac{312}{v+2} \) |
| Против течечения(обратно) | 312 | \( v-2 \) | \( \dfrac{312}{v-2} \) |
В условии задачи сказано, что на весь путь было затрачено 65 часов, то есть
\( t_{по \ течению \ (туда)}+t_{против \ течения \ (обратно)}=65 \)
\(\dfrac{312}{v+2}+\dfrac{312}{v-2}=65 \)
домножим обе части уравнения на \( (v+2)(v-2) \)
\(\dfrac{312(v+2)(v-2) }{(v+2)} +\dfrac{312(v+2)(v-2)}{(v-2)} =65(v+2)(v-2) \)
Далее сократим в левой части все, что можем
\( 312(v-2)+ 312(v+2) =65(v+2)(v-2) \)
\( 312v-624+ 312v+624 =65(v+2)(v-2) \)
\( 624v =65(v^2-4) \)
\( 624v =65v^2-260 \)
\( 65v^2-624v-260=0 \)
На что же нам разделить это громоздкое уравнение? Разложим 65 на простые множители.
\( 65=5 \cdot 13 \)
Разделим все на 13
\( 5v^2-48v-20=0 \)
\( D=(-48)^2-4 \cdot 5 \cdot (-20)=2704 \)
\( v_1=\dfrac{-(-48)+\sqrt{2704} }{2 \cdot 5}=\dfrac{48+52}{10}=10 \)
\( v_2=\dfrac{-(-48)-\sqrt{2704} }{2 \cdot 5}=\dfrac{48-52}{10}=-0,4 \ не \ подходит \)
Ответ: 10 км/ч .
Задача 1:
Гидроцикл проплыл по течению реки 30 км, после чего повернул назад и вернулся в исходную точку.
Известно, что путь обратно занял на 6 минут больше времени чем путь туда.
Найдите собственную скорость гидроцикла, если скорость течения 5 км/ч.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению (туда) | 30 | \( v+5 \) | \( \dfrac{30}{v+5} \) |
| Против течечения(обратно) | 30 | \( v-5 \) | \( \dfrac{30}{v-5} \) |
В этой задаче нам говорится, что путь обратно занял больше времени на 6 минут, то есть
\( t_{против \ течения \ (обратно)}-t_{по \ течению \ (туда)}=6 \ минут \)
также не будем забывать, что скорость нам дана в километрах в час, поэтому минуты нужно перевести в часы.
\( 6 \ минут \ = \ \dfrac{1}{10} \ часа \)
\( \dfrac{30}{v-5} - \dfrac{30}{v+5}= \dfrac{1}{10} \)
Домножаем на \( 10(v-5)(v+5) \)
\( \dfrac{30 \cdot 10(v-5)(v+5) }{v-5} - \dfrac{30 \cdot 10(v-5)(v+5)}{v+5}= \dfrac{1}{10} \cdot 10(v-5)(v+5)\)
\( 30 \cdot 10(v+5)-30 \cdot 10(v-5)=(v-5)(v+5)\)
\( 300(v+5)-300(v-5)=(v-5)(v+5)\)
\( 300v+1500-300v+1500= v^2-25 \)
\( 3000 = v^2-25 \)
\( v^2=3025 \)
\( v_1=55 \ \ \ \ \ \ \ v_2=-55 \)
Ответ: \( v=55 \)
Задача 2:
Буксир толкач прошел с баржой вниз по течению 34 километра, после чего он оставил баржу, увеличил собственную
скорость в 2 раза и вернулся в исходную точку.
Вычислите собственную скорость буксира на обратном пути, если скорость течения составляет 1 км/ч, а на весь
путь ушло 5 часов 24 минуты.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению (туда) | \( \ \ \ 34 \ \ \) | \( v+1 \) | \( \dfrac{34}{v+1} \) |
| Против течечения(обратно) | \( \ \ \ 34 \ \ \) | \( 2v-1 \) | \( \dfrac{34}{2v-1} \) |
\( 24 \ минуты \ = \ \dfrac{24}{60}= \dfrac{2}{5} \ часа \)
\(t_{по \ течению \ (туда)}+ t_{против \ течения \ (обратно)}=5 \dfrac{2}{5} \ часа \)
\( \dfrac{34}{v+1} + \dfrac{34}{2v-1}= 5\dfrac{2}{5} \)
\( \dfrac{34}{v+1} + \dfrac{34}{2v-1}= \dfrac{27}{5} \)
Домножим обе части уравнения на \( 5(v+1)(2v-1) \)
\( \dfrac{34 \cdot 5(v+1)(2v-1)}{(v+1)} + \dfrac{34 \cdot 5(v+1)(2v-1)}{(2v-1)}= \dfrac{27 \cdot 5(v+1)(2v-1)}{5} \)
\( 34 \cdot 5 (2v-1)+ 34 \cdot 5 (v+1)=27(v+1)(2v-1) \)
\(170(2v-1)+170(v+1)=27(2v^2-v+2v-1) \)
\(170(2v-1)+170(v+1)=27(2v^2+v-1) \)
\(340v-170+170v+170=54v^2+27v-27 \)
\(510v = 54v^2+27v-27 \)
\( 54v^2+27v-27- 510v=0 \)
\( 54v^2-483v-27=0 \)
Делим на 3
\( 18v^2-161v-9=0 \)
\(D= (-161)^2-4\cdot 18 \cdot 9=26569 \)
Как брать корень из таких чисел, когда таблица квадратов только до 10000?
Мы знаем, что \(100^2=10000,\ а \ 200^2=40000 \)
\(10000<26569<40000 \) , следовательно
\( \sqrt{10000}<\sqrt{26569}<\sqrt{40000} \)
\( 100<\sqrt{26569}<200 \)
число 26569 оканчивается на 9, мы знаем, что чтобы квадрат числа оканчивался на 9 нужно чтобы число
оканчивалось на 3 или на 7
между 100 и 200 возьмем ближе к середине 153
\(153^2=23409 \ \) мало
\(157^2=24649 \ \) мало
\(163^2=26569 \ \) самый раз
\(\sqrt{26569}=163 \)
\(v_1=\dfrac{-(-161)+163}{2 \cdot 18}=9 \)
\(v_2=\dfrac{-(-161)-163}{2 \cdot 18}<0 \)
Нас просят найти собственную скорость при движении обратно, а это \(2v\)
\(2v=2 \cdot 9 =18 \)
Ответ: \( 18 \ км/ч \)
Задача 3:
Баркас шел из пункта А в пункт В вниз по течению с выключенным двигатетем, прибыв в пункт В он запустил
двигатель, развернулся и поплыл обратно в пункт А, собственная скорость баркаса с работающим двигателем
составляет 7 км/ч. Известно, что время пути из А в В равно времени пути из В в А.
Найдите скорость течения реки.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению (туда) | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v \) | \( \dfrac{S}{v} \) |
| Против течечения(обратно) | \( \ \ \ S \ \ \) | \( 7-v \) | \( \dfrac{S}{7-v} \) |
По условию задачи время туда равно времени обратно.
\( \dfrac{S}{v} = \dfrac{S}{7-v} \)
Разделим обе части уравнения на \( S \)
\( \dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{7-v} \)
\(7-v=v \)
\(7=v+v \)
\(7=2v \)
\(v=\dfrac{7}{2} \)
\(v=3,5 \)
Ответ: \( 3,5 \ км/ч \)
Задача 4:
Расстояние между причалом А и причалом В по реке составляет 105 километров.
С этих причалов навстречу друг другу стартуют два катера, с одинаковой собственной скоростью, один катер идет по течению, а другой против.
Встреча катеров происходит через 2 часа с момента старта.
Чему равна собственная скорость катера?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Пусть скорость течения равна \(x \)
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению | \( \ \ \ S_1 \ \ \) | \( v+x \) | \( \ \ 2 \ \ \) |
| Против течечения | \( \ \ \ S_2 \ \ \) | \( v-x \) | \( \ \ 2 \ \ \) |
\(
\begin{cases}
S_1+S_2=105 \\ \\
S_1=(v+x) \cdot 2 \\ \\
S_2=(v-x) \cdot 2 \\ \\
\end{cases} \)
\( (v+x) \cdot 2+ (v-x) \cdot 2= 105 \)
\( 2v+2x+2v-2x=105 \)
\( 4v=105 \)
\( v=\dfrac{105}{4} \)
\(v=26,25 \ км/ч \)
Ответ: \( 26,25 \ км/ч \)
Задача 5:
От деревни Илоново до деревни Масково можно доплыть на плоту по течению реки за час.
От Масково до Илоново корабль может дойти за полчаса.
Сколько времени понадобится кораблю чтобы доплыть из Илоново до Масково?
Дать ответ в минутах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению без мотора | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v_{теч} \) | \( \ \ 1 \ \ \) |
| Против течения с мотором | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v-v_{теч} \) | \( \ \ \dfrac{30}{60} \ \ \) |
| По течечению с мотором | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v+v_{теч} \) | \( \ \ \dfrac{S}{v+v_{теч}} \ \ \) |
\(\dfrac{30}{60}=0,5 \)
\(
\begin{cases}
\dfrac{S}{v_{теч}}=1 \\ \\
\dfrac{S}{v-v_{теч}}=0,5 \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
S=0,5v-0,5v_{теч} \\ \\
\dfrac{S}{v+S}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
2S=v -v_{теч} \\ \\
\dfrac{S}{v+S}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
v=2S+ v_{теч} \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
v=(2S+ v_{теч}) \\ \\
\dfrac{S}{(2S+ v_{теч})+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
v=(2S+ v_{теч}) \\ \\
\dfrac{S}{(2S+ S)+S}-? \\ \\
\end{cases} \)
\( \dfrac{S}{(2S+ S)+S}=\dfrac{S}{4S}=0,25 \ часа \)
\( 0,25 \ часа=0,25 \cdot 60=15 \ минут \)
Ответ: \( 15 \ минут \)
Задача 6:
Надувная лодка без мотора проплывает от пункта А до пункта В, двигаясь только засчет течения реки, за час.
Если на лодку установить мотор, то из пункта В в пункт А, она доплывет за 45 минут, при этом следует понимать,
что лодка будет двигаться против течения.
За какое время эта лодка доплывет из пункта А до пункта В, если она будет плыть с мотором?
Дать ответ в минутах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
|
\( S \) |
\( v \) |
\( t \) |
| По течению без мотора | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v_{теч} \) | \( \ \ 1 \ \ \) |
| Против течения с мотором | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v-v_{теч} \) | \( \ \ \dfrac{45}{60} \ \ \) |
| По течечению с мотором | \( \ \ \ S \ \ \) | \( v+v_{теч} \) | \( \ \ \dfrac{S}{v+v_{теч}} \ \ \) |
\(\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4} \)
\(
\begin{cases}
\dfrac{S}{v_{теч}}=1 \\ \\
\dfrac{S}{v-v_{теч}}=\dfrac{3}{4} \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
\dfrac{4S}{v-v_{теч}}=3 \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
4S=3v -3v_{теч} \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
3v=4S+ 3v_{теч} \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\(
\begin{cases}
v_{теч}=S \\ \\
v= \left( \dfrac{4}{3}S+ v_{теч} \right ) \\ \\
\dfrac{S}{v+v_{теч}}-? \\ \\
\end{cases} \)
\( \dfrac{S}{v+v_{теч}}=\dfrac{S}{ \left( \dfrac{4}{3}S+ v_{теч} \right ) +S}= \)
\(=\dfrac{S}{ \left( \dfrac{4}{3}S+ S \right ) +S}=\dfrac{S}{ \dfrac{4}{3}S +2S} = \)
\(=\dfrac{S}{ S( \dfrac{4}{3} +2)} = \dfrac{1}{ \dfrac{4}{3} +2} = \)
\(=\dfrac{\ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ }{ \left( \dfrac{10}{3} \right ) } = \dfrac{3}{10} \ часа \)
\( \dfrac{3}{10} \ часа = \dfrac{3}{10} \cdot 60=18 \ минут \)
Ответ: \( 18 \ минут \)