-46

Решение:
Продифференицируем функцию:

Найдем значение производной в точке касания:

Касательная это прямая, поэтому ее уравнение в общем виде:

Наша парабола и касательная пересекаются, поэтому приравняем правые части, вставив вместо углового коэффициента 16

абсцисса касания равна 7, поэтому вместо x мы вставим 7

Уравнение касательной в точке 7:

-22

Решение:
Продифференицируем функцию:

Найдем значение производной в точке касания:

Касательная это прямая, поэтому ее уравнение в общем виде:

Наша парабола и касательная пересекаются, поэтому приравняем правые части, вставив вместо углового коэффициента 7

абсцисса касания равна 3, поэтому вместо x мы вставим 3

Уравнение касательной к параболе в точке 3:

2

Решение:
Прямая \(y=9x+2\) и касательная параллельны, значит угловой коэффициент касательной тоже равен 9 \((k=9)\).
По геометрическому смыслу производной:

\(f{}'(x_0)=k=9\)

\(x_0\) это абсцисса касания
Продифференцируем функцию:

\(f{}'(x)=2x+5\)

\(f{}'(x_0)=2x_0+5=9\)

\(2x_0+5=9\)

\(x_0=2\)

-1

Решение:
Продифференцируем функцию:

\(f{}'(x)=3x^2+4x-1\)

\(f{}'(x_0)=3x_0^2+4x_0-1=6\)

\(3x_0^2+4x_0-7=0 \)

\(D=16-4\cdot(-7)\cdot 3=16+84=100 \)

\(x_0=\frac{-4+10}{6}=1\)

\(x_0=\frac{-4-10}{6}=-\frac{7}{3}\)

\(x_0>0\) значит \(x_0=1\)

Приравниваем правые части уравнений:

\(x^3+2x^2-x+d=6x-5\)

вместо \(x\) вставляем \(1:\)

\(1^3+2\cdot1^2-1+d=6\cdot1-5\)

\(2+d=1\)

\(d=-1\)

5

Решение:
Продифференцируем функцию:

\(f{}'(x)=2ax+2\)

\(f{}'(x_0)=2ax_0+2=32\)
\begin{cases} 2ax_0+2=32 \\ ax_0^2+2x_0+3=32x_0-42 \end{cases} \begin{cases} 2ax_0=30 \\ ax_0^2-30x_0+45=0 \end{cases} \begin{cases} x_0=\frac{30}{2a} \\ ax_0^2-30x_0+45=0 \end{cases} \begin{cases} x_0=\frac{15}{a} \\ ax_0^2-30x_0+45=0 \end{cases}
\(a\cdot(\frac{15}{a})^2-30\cdot\frac{15}{a}+45=0\)

\(a\cdot\frac{225}{a^2}-\frac{450}{a}+45=0\)

\(\frac{5}{a}-\frac{10}{a}+1=0\)

\(-\frac{5}{a}+1=0\)

\(a=5 \)