Задачи на формулу Томсона .
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре вычисляется по формуле Томсона и зависит только от
индукцивности катушки и емкости конденсатора, входящих в этот колебательный контур.
\(L \) -индуктивность катушки [Гн] , читается "Генри"
\(С \) -Емкость конденсатора [Ф] , Фарады, довольно большая величина, обычно дается в микрофарадах, нанофарадах или пикофарадах, а уже потом переводится в систему СИ (фарады)
\( 1 \ микрофарад=1 \ мкФ=10^{-6} \ ф \)
\( 1 \ нанофарад=1 \ нФ=10^{-9} \ ф \)
\( 1 \ пикофарад=1 \ пФ=10^{-12} \ ф \)
1.
В колебательном контуре используется катушка индуктивности
\( L=0,1 \ Гн \) и конденсатор ёмкостью
\(C=10^{-5} \ Ф \). Определите период свободных колебаний в контуре, используя формулу Томсона.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( T=0,000628 \ с \)
Дано:
\( L=0,1 \ Гн \)
\( C=10^{-5} \ Ф \)
\(T -?\)
Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре имеет вид:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
\(T=2 \pi \sqrt{LC} =2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{0,1 \ Гн \cdot 10^{-5} \ Ф } \)
\(T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\cdot 10^{-1} \ Гн \cdot 10^{-5} \ Ф } \)
\(T= 6,28 \cdot \sqrt{ \cdot 10^{-6} }= 6,28 \cdot 10^{-3}=0,000628 \ с \)
Ответ: \( T=0,000628 \ с \)
Задача 2.
В колебательном контуре индуктивность катушки равна \( L=1 \ Гн \), а ёмкость конденсатора \( C=10 \ нФ . \)
Найдите
частоту
\( ν \) колебаний в контуре.
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \nu \approx 1592 \ Гц \)
Дано:
\( C=10 \ нФ \)
\( L=1 \ Гн \)
\(\nu-?\)
СИ
\(C=10\cdot 10^{-9} \ Ф= 10^{-8} \ Ф \)
Формула Томсона:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
\(T=2 \pi \sqrt{LC}=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{1 \ Гн \cdot 10^{-8} \ Ф } \)
\(T= 6,28 \cdot \sqrt{ 10^{-8} } = 6,28 \cdot 10^{-4} \)
Вспомним, что период и частота связаны соотношением :
\( \nu= \dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{6,28 \cdot 10^{-4} }= \dfrac{10^{4}}{6,28 } \approx 1592 \ Гц \)
Ответ: \( \nu \approx 1592 \ Гц \)
3.
Период колебаний колебательного контура \(T=2 \pi \cdot 10^{-5} с \), при этом индуктивность катушки
\( L=0,01 \ Гн \).
Вычислить емкость конденсатора, входящего в этот колебательный контур.
Дать ответ в нанофарадах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Дано:
\( L=0,01 \ Гн \)
\( T=2 \pi \cdot 10^{-5} с \)
\(C -?\)
Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре имеет вид:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
Выразим емкость из этого соотношения, возведем в квадрат обе части уравнения:
\(T^2=\left (2 \pi \sqrt{LC} \right )^2 \)
\(T^2=4 \pi^2 LC \)
Делим на \( 4 \pi^2 L \) обе части уравнения:
\( \dfrac{T^2}{4 \pi^2 L}= \dfrac{ 4 \pi^2 LC }{4 \pi^2 L} \)
\( \dfrac{T^2}{4 \pi^2 L}= C \)
\( C= \dfrac{T^2}{4 \pi^2 L} \)
\( C= \dfrac{ \left ( 2 \pi \cdot 10^{-5} с \right )^2 }{4 \cdot 4 \pi^2 \cdot 0,01 \ Гн } \)
\( C= \dfrac{ 4 \pi^2 \cdot 10^{-10} с^2 }{ 4 \pi^2 \cdot 0,01 \ Гн } \)
\( C= \dfrac{ 10^{-10} с^2 }{ 0,01 \ Гн }=10^{-8} \ Ф \)
\( 10^{-8} \ Ф=10 \ нФ \)
Ответ: \( C= 10 \ нФ \)
4.
В колебательном контуре заменили конденсатор на конденсатор с емкостью в четыре раза превосходящей
емкость прежнего конденсатора. Во сколько раз увеличился период колебаний в контуре?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =2 \)
Дано:
\( C_2=4C_1 \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} -?\)
Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре имеет вид:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
тогда для первого случая:
\(T_1=2 \pi \sqrt{LC_1} \)
для второго случая:
\(T_2=2 \pi \sqrt{LC_2} \)
мы знаем, что \( C_2=4C_1 \) , поэтому:
\(T_2=2 \pi \sqrt{L \cdot 4 \cdot C_1} \)
Запишем отношение \(\dfrac{T_2}{T_1} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2 \pi \sqrt{L \cdot 4 \cdot C_1} }{2 \pi \sqrt{LC_1}} \)
\(2 \pi \) сокращается
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{ \sqrt{L \cdot 4 \cdot C_1} }{ \sqrt{LC_1}} \)
Все сокращается, кроме двойки:
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2 \sqrt{L C_1} }{ \sqrt{LC_1}}=2 \)
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =2 \)
5.
В колебательном контуре заменили конденсатор на конденсатор с емкостью в два раза превосходящей
емкость прежнего конденсатора, также была заменена катушка индуктивности на катушку с индуктивностью в 2 раза большей.
Во сколько раз увеличился период колебаний в контуре?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =2 \)
Дано:
\( C_2=2C_1 \)
\( L_2=2L_1 \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} -?\)
Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре имеет вид:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
тогда для первого случая:
\(T_1=2 \pi \sqrt{L_1C_1} \)
для второго случая:
\(T_2=2 \pi \sqrt{L_2C_2} \)
мы знаем, что \( C_2=2C_1 \), а \( L_2=2L_1 \) поэтому:
\(T_2=2 \pi \sqrt{2L_1 \cdot 2 \cdot C_1} \)
Запишем отношение \(\dfrac{T_2}{T_1} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2 \pi \sqrt{2L_1 \cdot 2 \cdot C_1} }{2 \pi \sqrt{L_1C_1}} \)
\(2 \pi \) сокращается
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{ \sqrt{4 \cdot L_1 \cdot C_1} }{ \sqrt{L_1C_1}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2 \sqrt{L_1 C_1} }{ \sqrt{L_1C_1}} \)
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =2 \)
6.
В колебательном контуре заменили конденсатор на конденсатор с емкостью в полтора раза превосходящей
емкость прежнего конденсатора, также была заменена катушка индуктивности на катушку с индуктивностью в полтора раза большей.
Во сколько раз увеличился период колебаний в контуре?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =1,5 \)
Дано:
\( C_2=1,5C_1 \)
\( L_2=1,5L_1 \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} -?\)
Формула Томсона для периода колебаний в колебательном контуре имеет вид:
\(T=2 \pi \sqrt{LC} \)
тогда для первого случая:
\(T_1=2 \pi \sqrt{L_1C_1} \)
для второго случая:
\(T_2=2 \pi \sqrt{L_2C_2} \)
мы знаем, что \( C_2=1,5C_1 \), а \( L_2=1,5L_1 \) поэтому:
\(T_2=2 \pi \sqrt{1,5L_1 \cdot 1,5 \cdot C_1} \)
Запишем отношение \(\dfrac{T_2}{T_1} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2 \pi \sqrt{1,5L_1 \cdot 1,5 C_1} }{2 \pi \sqrt{L_1C_1}} \)
\(2 \pi \) сокращается
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{ \sqrt{2,25 \cdot L_1 \cdot C_1} }{ \sqrt{L_1C_1}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{1,5 \sqrt{L_1 C_1} }{ \sqrt{L_1C_1}} \)
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1} =1,5 \)