Задачи на куб средней сложности .
ЕГЭ тип 3. Стереометрия.
Задача 1:
Чему равен объем куба, если площадь его поверхности равна 486 ?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Сначала найдем ребро этого куба:
\(S_{поверхности \ куба}=6a^2 \)
\( 6a^2=486 \)
\( a^2= \dfrac{486}{6} \)
\( a^2= 81 \)
\( a= 9 \)
Теперь найдем объем куба с ребром 9 :
\( V_{куба}=a^3=9^3=729 \)
Ответ: \(V_{куба}=729 \)
Если эти задачи Вам кажутся сложными, хочется сначала порешать более легкие задачи на эту тему
, а также прочитать теорию по теме "Куб", то нажимайте на зеленую кнопку.
Теория, формулы и легкие задачи на тему "Куб"
Задача 2:
Имеется два различных куба, ребро первого куба в 3 раза больше ребра второго куба.
Во сколько раз объем первого куба больше объема второго куба?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=27 \)
Пусть ребро второго куба равно \( x \), тогда ребро первого равно \(3x\)
\(V_{1}=(3x)^3 \)
\(V_{2}=x^3 \)
\( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}= \dfrac{(3x)^3}{x^3}= \dfrac{27x^3}{x^3}=27 \)
Ответ: \( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=27 \)
Задача 3:
Ребро первого куба в 5 раз меньше ребра второго куба.
Чему равно отношение объема первого куба к объему второго?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=0,008 \)
Пусть ребро первого куба равно \( x \), тогда ребро второго куба равно \(5x\)
\(V_{1}=x^3 \)
\(V_{2}=(5x)^3 \)
\( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}= \dfrac{x^3}{(5x)^3}= \dfrac{x^3}{125x^3}=0,008 \)
Ответ: \( \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=0,008 \)
После разбора задач этой темы можно попробовать свои силы в решении конторольной работы на тему "Куб"
Решить контрольную работу по теме "Куб"
Задача 4:
Каждое ребро куба увеличили на 3, при этом площадь его поверхности увеличилась на 378.
Вычислите длину ребра этого куба.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(S_2>S_1\)
\(S_2-S_1=378\)
Пусть ребро первого куба равно \( x \),
тогда ребро второго куба равно \( (x+3) \)
\(S_{1}=6x^2 \)
\(S_{2}=6(x+3)^2 \)
\(6(x+3)^2 - 6x^2=378 \)
\( 6(x^{2}+6x+9) - 6x^2=378 \)
\( 6x^{2}+36x+54 - 6x^2=378 \)
\( 36x+54=378 \)
\( 36x=378-54 \)
\( 36x=324 \)
\( x= \dfrac{324}{36} \)
\( x= 9 \)
Ответ: 9
Задача 5:
Ребро второго куба длиннее ребра первого куба на 5.
При этом площадь поверхности большего куба больше площади поверхности меньшего на 420.
Вычислите ребро меньшего куба.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(S_2>S_1\)
\(S_2-S_1=420\)
Пусть ребро первого куба равно \( x \),
тогда ребро второго куба равно \( (x+5) \)
\(S_{1}=6x^2 \)
\(S_{2}=6(x+5)^2 \)
\(6(x+5)^2 - 6x^2=420 \)
\( 6(x^{2}+10x+25) - 6x^2=420 \)
\( 6x^{2}+60x+150 - 6x^2=420 \)
\( 60x+150 =420 \)
\( 60x =420-150 \)
\( 60x =420-150 \)
\( 60x =270 \)
\( x =\dfrac{270}{60} \)
\( x =4,5 \)
Ответ: 4,5
Задача 6:
Каждое ребро куба уменьшили на 7, площадь его поверхности при этом уменьшилась на 1974.
Найдите начальный объем куба, то есть до уменьшения.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Сначала найдем длину ребра исходного куба:
\(S_1>S_2\)
\(S_1-S_2=1974\)
Пусть ребро первого куба равно \( x \),
тогда ребро второго куба равно \( (x-7) \)
\(S_{1}=6x^2 \)
\(S_{2}=6(x-7)^2 \)
\( 6x^2 - 6(x-7)^2=1974 \)
\( 6x^2 - 6(x^2-14x+49)=1974 \)
\( 6x^2 - 6x^2+84x-294=1974 \)
\( 84x-294=1974 \)
\( 84x=1974+294 \)
\( 84x=2268 \)
\( x=\dfrac{2268}{84} \)
\( x=27 \)
Теперь, зная ребро, мы можем найти объем:
\(V_{куба}=x^3=27^3=19683 \)
Ответ: \(V_{куба}=19683 \)
Задача 7(Решение №1) :
Ребро первого куба больше ребра второго куба на 4 , при этом объем второго куба меньше объема первого на 2044.
Найдите ребро меньшего куба.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Решение без применения формулы разности кубов и формулы куба суммы
\(V_1-V_2 =2044 \)
Пусть ребро второго куба равно \( x \), тогда первого куба \( (x+4) \)
\( (x+4)^3-x^3=2044 \)
Лень запоминать формулу куба суммы и формулу разности кубов.
Поступим вот так:
\((x+4) (x+4)^2-x^3=2044 \)
\((x+4) (x^2+8x+16)-x^3=2044 \)
\( x^3+8x^2+16x+4x^2+32x+64 -x^3=2044 \)
\(12x^2+48x+64-2044=0 \)
\(12x^2+48x-1980=0 \)
\(x^2+4x-165=0 \)
\(D=4^2-4 \cdot (-165)=676 \)
\(x_1= \dfrac{-4+\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-4+26}{2}=11 \)
\(x_2= \dfrac{-4-\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-4-26}{2}=-15 \)
Ответ: \( 11 \)
Задача 7(Решение №2) :
Ребро первого куба больше ребра второго куба на 4 , при этом объем второго куба меньше объема первого на 2044.
Найдите ребро меньшего куба.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Решение c применением формулы разности кубов
\( a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \)
\(V_1-V_2 =2044 \)
Пусть ребро второго куба равно \( x \), тогда первого куба \( (x+4) \)
\( (x+4)^3-x^3=2044 \)
Примененяем формулу разности кубов:
\( (x+4-x)((x+4)^2+(x+4)x+x^2)=2044 \)
\( 4(x^2+8x +16 +x^{2}+4x +x^2)=2044 \)
Делим обе части уравнения на 4
\( x^2+8x +16 +x^{2}+4x +x^2=511 \)
\( 3x^2+12x +16 -511 =0 \)
\( 3x^2+12x +495 =0 \)
Делим обе части уравнения на 3
\(x^2+4x-165=0 \)
\(D=4^2-4 \cdot (-165)=676 \)
\(x_1= \dfrac{-4+\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-4+26}{2}=11 \)
\(x_2= \dfrac{-4-\sqrt{676}}{2}=\dfrac{-4-26}{2}=-15 \)
Ответ: \( 11 \)
Задача 9 :
Вывести формулу диагонали куба со стороной \( a \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Первым делом найдем \(AC \)
\(ABCD \) является квадратом со стороной \(a \)
\(Δ ACD \) равнобедренный прямоугольный \(\angle D=90^0 \) , оба катета равны \( a \)
\(AC^2=AD^2+DC^2 \)
\( AD=AC=a \)
\(AC^2=a^2+a^2 \)
\(AC^2=2a^2 \)
\(AC=\sqrt{2}a \)
Теперь рассмотрим \(Δ AC_1C \)
\(\angle ACC_1=90^0 \)
\( AC_1^2=AC^2+CC_1^2 \)
\(AC^2=2a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ CC_1=a \)
\( AC_1^2= 2a^2+a^2 \)
\( AC_1^2= 3a^2 \)
\( AC_1= \sqrt{3}a \)
Ответ: \( \sqrt{3}a \)
Задача 10 :
Чему равна диагональ единичного куба?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
В предыдущей задаче мы вывели формулу диагонали куба: \( d= \sqrt{3}a \)
Единичный куб это куб, у которого ребро равно единице
получается \( a=1 \)
\( AC_1= \sqrt{3}a \)
\( d= \sqrt{3}a= \sqrt{3} \cdot 1= \sqrt{3} \)
Ответ: \( d= \sqrt{3} \)
Задача 11 :
Найдите диагональ куба с ребром \( a=\sqrt{3} \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
В задаче №9 мы вывели формулу диагонали куба: \( d= \sqrt{3}a \)
\( d= \sqrt{3}a= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}= 3 \)
Ответ: \( 3 \)
Задача 13 :
Диагональ куба равна \( \sqrt{48} \).
Чему равно его ребро?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
В задаче №9 мы вывели формулу диагонали куба: \( d= \sqrt{3}a \)
\( a=\dfrac{d}{\sqrt{3}} \)
\( a=\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4 \)
Ответ: \( 4 \)
Задача 14 :
Чему равна площадь поверхности куба с диагональю \( d=18 \) ?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
В задаче №9 мы вывели формулу диагонали куба: \( d= \sqrt{3}a \)
Сначала вычислим ребро куба:
\( a=\dfrac{d}{\sqrt{3}} \)
\( a=\dfrac{18}{\sqrt{3}} \)
Теперь мы можем вычислить площадь поверхности этого куба:
\(S=6a^2=6 \cdot \left( \dfrac{18}{\sqrt{3}} \right )^2= 6 \cdot \dfrac{18^2}{3}=
6 \cdot \dfrac{324}{3}= 2 \cdot 324=648 \)
Ответ: \( S=648 \)
Задача 15 :
Чему равен объем куба с диагональю \( d=\sqrt{432} \) ?
Решить задачу БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ диагонали, так как к моменту
сдачи ЕГЭ Вы ее благополучно забудете.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Пусть ребро куба равно \( a \)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACD \)
Выразим \(AC\) через \( a \) с помощью теоремы Пифагора:
\(AC^2=a^2+a^2 \)
\(AC^2=2a^2\)
\(AC=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a \)
Теперь составим теорему Пифагора для \(ΔAC_1C \)
\(AC_1^2=AC^2+CC_1^2 \)
\( \sqrt{432}^2= \left(\sqrt{2}a \right)^2+a^2 \)
\(432=2a^2+a^2 \)
\(432=3a^2 \)
\(3a^2=432 \)
\(a^2= \dfrac{432}{3} \)
\(a^2= 144 \)
\(a= 12 \)
Теперь можем найти объем
\( V=a^3=12^3=1728 \)
Ответ: \( V= 1728 \)