Задачи на цилиндр .
Если вращать прямоугольник вокруг любой из его сторон, то получится цилиндр.
На фото цилиндр выглядит вот так:
На чертеже цилиндр обозначают так:
\( R \) радиус цилиндра
\( H \) высота цилиндра
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
\( V=S \cdot H \)
\(S\) площадь основания цилиндра
любой цилиндр имеет два одинаковых основания, нижнее и верхнее
каждое основание цилиндра это круг
Как мы помним площадь круга находится по формуле:
\( S=\pi \cdot R^2 \)
Заменим в формуле вычисления объема цилиндра \( S \) на \( \pi \cdot R^2 \) и мы сможем
находить объем цилиндра зная его радиус и высоту:
\( V=S \cdot H = \pi \cdot R^2 \cdot H \)
\( \textcolor {green} { V= \pi \cdot R^2 \cdot H } \)
Задача 1:
Найдите объем цилиндра высотой 5 см и площадью основания \( S=3 \ см^2 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V=H \cdot S=5 \ см \cdot 3 \ см^2= 15 \ см^3 \)
Решить контрольную работу по теме "Цилиндр"
Задача 2:
Каким будет объем цилиндра, если его высота \(H=1 \), а радиус основания \(R=1 \) ?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot 1 \cdot 1 = \pi \)
Ответ: \( V=\pi \)
Задача 3:
Каким будет объем цилиндра, если его высота \(H=1 \ см \), а радиус основания \(R=1 \ см \) ?
Ответ дать в кубических сантиметрах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot (1 \ см)^{2} \cdot 1 \ см = \pi \ см^3 \)
Ответ: \( V=\pi \ см^3 \)
Задача 4:
Вычислите объем цилиндра высотой 4 и радиусом 2,5 .
В ответе указать \( \dfrac{V}{\pi} \) .
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot (2,5)^{2} \cdot 4 \ = 25 \pi \)
Таким образом реальный объем этого цилиндра равен \( 25 \pi \) ,
но нас просят в ответе указать
\( \dfrac{V}{\pi} \) ,
\( \dfrac{ 25 \pi}{\pi} =25 \)
Ответ: \( 25 \)
Задача 5:
Вычислите объем цилиндра высотой 16 и диаметром 6 .
В ответе указать \( \dfrac{V}{\pi} \) .
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\(R=\dfrac{D}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \)
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot (3)^{2} \cdot 16 \ = 144 \pi \)
Таким образом реальный объем этого цилиндра равен \( 144 \pi \) ,
но нас просят в ответе указать
\( \dfrac{V}{\pi} \) ,
\( \dfrac{ 144 \pi}{\pi} =144 \)
Ответ: \( 144 \)
Задача 6:
Найдите объем цилиндра изображенного на рисунке, если \(Н=20\), а \( R=17 . \)
В ответе указать \( \dfrac{V}{\pi} \) .
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot (17)^{2} \cdot 20 \ = 5780 \pi \)
Таким образом реальный объем этого цилиндра равен \( 5780 \pi \) ,
но нас просят в ответе указать
\( \dfrac{V}{\pi} \) ,
\( \dfrac{ 5780 \pi}{\pi} =5780 \)
Ответ: \( 5780 \)
Задача 7:
Объем цилиндра на этом рисунке составляет \( 2048 \pi \) , а радиус основания этого цилиндра равен 8.
Чему равна высота \(Н\) этого цилиндра?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Сначала разберем профессиональный способ:
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \ \ \ \ \ \ \ \ разделим \ на \ \pi \cdot R^2 \ обе \ части \ уравнения \)
\( \dfrac{V}{\pi \cdot R^2}= \dfrac{\pi \cdot R^{2}H }{\pi \cdot R^2} \)
\( \dfrac{V}{\pi \cdot R^2}= H \)
\(H= \dfrac{V}{\pi \cdot R^2} \)
\(H= \dfrac{2048 \pi }{\pi \cdot 8^2}=32 \)
Ответ: \( H=32 \)
Теперь способ для тех, кому трудно разобраться
Просто вставим числа в формулу:
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \)
\( 2048 \pi= \pi \cdot 8^2 \cdot H \)
\( 2048 \pi= \pi \cdot 64 \cdot H \)
\( \dfrac{2048 \pi }{\pi \cdot 64}=H \)
\( H= \dfrac{2048 \pi }{\pi \cdot 64} =32 \)
Ответ: \( H=32 \)
Задача 8:
Высота цилиндра на этом рисунке равна 5, а его объем \(V=1620 \pi \)
Вычислите радиус основания этого цилиндра.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Сначала разберем профессиональный способ:
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \ \ \ \ \ \ \ \ разделим \ на \ \pi H \ обе \ части \ уравнения \)
\( \dfrac{V}{\pi \cdot H}= \dfrac{\pi \cdot R^{2}H }{\pi \cdot H} \)
\( \dfrac{V}{\pi \cdot H}= R^2 \)
\( R^2= \dfrac{V}{\pi \cdot H} \)
\( R= \sqrt { \dfrac{V}{\pi \cdot H} } \)
\( R= \sqrt { \dfrac{1620 \pi}{\pi \cdot 5} } = 18 \)
Ответ: \( R = 18 \)
Теперь способ для тех, кому трудно разобраться
Просто вставим числа в формулу:
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \)
\( 1620 \pi = \pi \cdot R^2 \cdot 5 \)
Разделим на \( \pi \) обе части уравнения
\( 1620 = R^2 \cdot 5 \)
\( 5R^2 = 1620 \)
\( R^2 = 1620 :5 \)
\( R^2 = 324 \)
\( R = \sqrt{324} \)
\( R = 18 \)
Ответ: \( R = 18 \)
Задача 9:
Каков объем цилиндра, изображенного на этом рисунке, если \( H=\dfrac{11}{\pi} \),
а его радиус равен 13?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \)
\( V= \pi \cdot 13^2 \cdot \dfrac{11}{\pi}= 13^2 \cdot 11= 169 \cdot 11=1859 \)
Надеюсь всем понятно, что \( \pi \) сократилось
Ответ: \( V = 1859 \)
Задача 10:
Найдите объем цилиндра, изображенного на этом рисунке, если \( R=\dfrac{8}{\sqrt{\pi}} \),
а его высота равна 0,5?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V= \pi \cdot R^2 \cdot H \)
\( V= \pi \cdot \left ( \dfrac{8}{\sqrt{\pi}} \right )^{2} \cdot 0,5=\pi \cdot \dfrac{64}{\pi} \cdot 0,5=32 \)
Надеюсь всем понятно, что \( \pi \) сократилось
Ответ: \( V = 32 \)
Задача 12:
В вазе, имеющей цилиндрическую форму налита вода, высота уровня воды составляет \(H_{1}=48 \ см \) от дна.
В какой-то момент воду переливают из вазы в бидон, который также имеет цилиндрическую форму.
Радиус бидона в 4 раза больше радиуса вазы. Определите высоту уровня воды в бидоне.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Объем воды при переливе из вазы в бидон не меняется.
Для простоты понимания представим, что вода налита в вазу до верху, напишем формулу объема воды в вазе:
\(V_{воды \ в \ вазе}= \pi R_{1}^{2} H_{1} \)
также представим, что в бидоне она тоже до верху (типа очень низкий бидон, такое же возможно) и
напишем формулу объема воды в бидоне:
\(V_{воды \ в \ бидоне}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Мы уже говорили, что объем не меняется, поэтому мы можем записать следующее соотношение:
\(V_{воды \ в \ вазе}=V_{воды \ в \ бидоне} \)
\( \pi R^{2} H_{1}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \(\pi\)
\( R_{1}^{2} H_{1}= R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \( R_{2}^{2} \)
\( \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} }= \dfrac{ R_{2}^{2} H_{2} }{ R_{2}^{2} } \)
\( \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} }= H_{2} \)
\( H_{2} = \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} } \)
\( H_{2} = \dfrac{ R_{1}^{2} } {R_{2}^{2} } H_{1} \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ R_{1} } {R_{2} } \right )^{2} H_{1} \)
В условии задачи сказано, что радиус бидона в четыре раза больше радиуса вазы
Пусть радиус вазы равен \( x \), тогда радиус бидона равен \(4x\)
\( R_{1}=x \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{2}=4x \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ x } {4x } \right )^{2} H_{1} \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ 1 } {4 } \right )^{2} H_{1} \)
\( H_{2} = \dfrac{ 1 } {16 } H_{1} = \dfrac{ 1 } {16 } \cdot 48=3 \ см \)
Ответ: \( H_{2} = 3 \ см \)
Задача 13:
В вертикальном цилиндрическом резервуаре хранится нефть, высота уровня ее достигает \( H_{1}=45 \ см \) .
Нефть перекачивают в вертикальную цистерну также имеющую форму цилиндра.
Радиус резервуара в 2 раза больше радиуса цистерны. Какой будет высота уровня нефти в цистерне?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Объем нефти при перекачке из резервуара в цистерну не меняется.
Представим, что нефть залита в резервуар до верху, мы это делаем чтобы не думать о верхней части резервуара,
где нет нефти.
напишем формулу объема нефти в резервуаре:
\(V_{нефти \ в \ резервуаре}= \pi R_{1}^{2} H_{1} \)
также представим, что в цистерне нефть тоже до верху, также чтобы не думать о верхней части цистерны,
где нет нефти.
напишем формулу объема нефти в цистерне:
\(V_{нефти \ в \ цистерне}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Мы уже говорили, что объем нефти не меняется, поэтому мы можем записать следующее соотношение:
\(V_{нефти \ в \ резервуаре}=V_{нефти \ в \ цистерне} \)
\( \pi R^{2} H_{1}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \(\pi\)
\( R_{1}^{2} H_{1}= R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \( R_{2}^{2} \)
\( \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} }= \dfrac{ R_{2}^{2} H_{2} }{ R_{2}^{2} } \)
\( \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} }= H_{2} \)
\( H_{2} = \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{2}^{2} } \)
\( H_{2} = \dfrac{ R_{1}^{2} } {R_{2}^{2} } H_{1} \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ R_{1} } {R_{2} } \right )^{2} H_{1} \)
В условии задачи сказано, что радиус резервуара в 2 раза больше радиуса цистерны
Пусть радиус цистерны равен \( x \), тогда радиус резервуара равен \(2x\)
\( R_{1}=2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ R_{2}=x \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ 2x } {x } \right )^{2} H_{1} \)
\( H_{2} = \left ( \dfrac{ 2 } {1 } \right )^{2} H_{1} \)
\( H_{2} = 4 H_{1} = 4 \cdot 45=180 \ см \)
Ответ: \( H_{2} = 180 \ см \)
Задача 14:
В бутылке диаметром 80 мм налито немного молока, если перелить его в стакан радиусом 3,2 см, то уровень молока
будет доходить до 10 см. Каким был уровень молока в бутылке?
Дать ответ в сантиметрах.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
В стакане будет столько же молока, сколько было в бутылке.
объем молока в бутылке:
\(V_{молока \ в \ бутылке}= \pi R_{1}^{2} H_{1} \)
объем молока в стакане:
\(V_{молока\ в \ стакане}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Мы уже говорили, что объем молока не меняется, поэтому мы можем записать следующее соотношение:
\(V_{нефти \ в \ резервуаре}=V_{нефти \ в \ цистерне} \)
\( \pi R^{2} H_{1}= \pi R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \(\pi\)
\( R_{1}^{2} H_{1}= R_{2}^{2} H_{2} \)
Разделим обе части уравнения на \( R_{1}^{2} \)
\( \dfrac{ R_{1}^{2} H_{1}} {R_{1}^{2} }= \dfrac{ R_{2}^{2} H_{2} }{ R_{1}^{2} } \)
\( H_{1}= \dfrac{ R_{2}^{2} H_{2} }{ R_{1}^{2} } \)
\( H_{1}= \dfrac{ R_{2}^{2} }{ R_{1}^{2} } H_{2} \)
\( H_{1}= \left ( \dfrac{ R_{2} }{ R_{1} } \right )^{2} H_{2} \)
Теперь нужно разобраться с отношением радиуса стакана \( R_{2} \) к радиусу бутылки \( R_{1} \)
\( R_{1}= \dfrac{ 80 \ мм }{ 2 } =40 \ мм= 4 \ см \)
\( R_{2}= \ 3,2 \ см \)
\( H_{1}= \left ( \dfrac{ 3,2 }{ 4 } \right )^{2} \cdot 10 =6,4 \ см \)
Ответ: \( H_{1} = 6,4 \ см \)
Задача 16:
В дачный бассейн, объемом 8 кубических метров, глубиной 1 метр и имеющий цилиндрическую форму нырнул под воду человек,
глубина бассейна при этом увеличилась на 7,5 миллиметра.
При грубом подсчете можно считать, что масса человека в килограммах равна объему тела этого человека в литрах.
Вычислите массу человека нырнувшего в бассейн, пользуясь допущением приведенном в предыдущем предложении.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Под фразой "глубина бассейна при этом увеличилась на 7,5 миллиметра" подразумевается, что уровень воды
поднялся на 7,5 миллиметра.
\(V_{новый}=V_{старый} + V_{человека} \)
\( V_{человека}=V_{новый}-V_{старый} \)
\( V_{человека}=SH_{2}-SH_{1} \)
\( V_{человека}=S(H_{2}-H_{1}) \)
\( V_{человека}=\dfrac{V_{старый}}{H_{1}} \cdot (H_{2}-H_{1}) \)
\( V_{человека}=\dfrac{8 \ м^3 }{1 \ м} \cdot (0,0075 \ м )=0,06 \ м^3= 60 \ литров \)
После вычислений объем тела этого человека получился равен 60 литров,
поэтому, пользуясь допущением из условия задачи мы можем сказать, что его масса равна 60 кг.
Ответ: \( m=60 \ кг \)
Задача 17:
В деревянной кадке, имеющей форму цилиндра, налита жидкость.
Площадь дна этой кадки составляет \( 1200 \ см^2 \). На дно этой кадки кладут булыжник,
уровень жидкости при этом повышается с 31 см до 33 см.
Найдите объем этого булыжника.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( V_{булыжника}= 2400 \ см^3 \)
\(V_{новый}=V_{старый} + V_{булыжника} \)
\( V_{булыжника}=V_{новый}-V_{старый} \)
\( V_{булыжника}= SH_{2}-SH_{1} \)
\( V_{булыжника}= S(H_{2}-H_{1}) \)
\( V_{булыжника}= 1200 \cdot(33-31)=2400 \ см^3 \)
Ответ: \( V_{булыжника}= 2400 \ см^3 \)
Задача 20:
У студента есть два тубуса одинакового диаметра, но разной длины.
Длина первого тубуса в 2 раза больше длины второго. Во сколько раз объем первого
тубуса больше объема второго?
Примечание: тубус это футляр для чертежей, имеющий форму цилиндра.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Пусть длина второго тубуса равна \(x \), тогда длина второго тубуса равна \( 2x \)
Напомним формулу объема цилиндра.
\(V_{цилиндра}=\pi \cdot R^{2} \cdot H \)
Если у них одинаковые диаметры, то радиусы у них тоже одинаковые.
\(V_{2}=\pi \cdot R^{2} \cdot x \)
\(V_{1}=\pi \cdot R^{2} \cdot 2x \)
\( \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\pi \cdot R^{2} \cdot 2x}{ \pi \cdot R^{2} \cdot x}=2 \)
Многие скажут : "Зачем решать эту задачу таким сложным способом, когда и так понятно, что ответ будет 2"
Решать эту задачу в уме можно, если у Вас есть хотя бы минимальный опыт в решении подобных задач.
Приведенный выше способ решения должен подготовить Вас к решению более сложных задач, которые решить в уме
уже будет более затруднительно.
Более сложные задачи будут приведены ниже.
Ответ: \( \dfrac{V_1}{V_2}=2 \)
Задача 21:
Имеются две трубы одинаковой длины, но разного радиуса.
Радиус второй трубы в 2 раза больше радиуса первой.
Во сколько раз объем второй трубы больше объема первой?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Пусть радиус первой трубы равен \(x \), тогда радиус второй трубы равен \(2x\)
Труба это полый цилиндр, напомним формулу объема цилиндра.
\(V_{цилиндра}=\pi \cdot R^{2} \cdot H \)
\(V_{1}=\pi \cdot x^{2} \cdot H \)
\(V_{2}=\pi \cdot (2x)^{2} \cdot H \)
\( \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{\pi \cdot (2x)^{2} \cdot H}{ \pi \cdot x^{2} \cdot H}= \dfrac{4x^2}{x^2} =4 \)
Ответ: \( \dfrac{V_2}{V_1}=4 \)