Задания на геометрическую прогрессию.
Перейти к самым простым задачам
Перейти к простым задачам
Перейти к задачам средней сложности
Перейти к умеренно сложным
Теория.
Геометрическая прогрессия это ряд чисел, где каждое последующее число равно предыдущему числу, умноженному на
\(q \) .
\(q\) это знаменатель геометрической прогрессии.
Пример :
\(1;2;4;8;16 \)
\(q=2 \)
Пример :
\(1000; \ 500; \ 250; \ 125; \ 62,5; \ 31,25 \)
\(q=0,5 \)
Формула \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Задачи с 1 по 10 максимально простые.
Уровень сложности 0 из 10.
Задача 1:
Назовите следующее число:
\( 1;3;9;27 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на 3
\( 27 \cdot 3 =81 \)
Репетитор по математике
8 916 478 10 32
Задача 2 (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=5, \ \) а ее знаменатель \(q=3 . \)
Найдите второй член этой прогрессии \(b_2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( b_{2}= b_{1} \cdot q = 5 \cdot 3=15 \)
Задача 3. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=5, \ \) а ее знаменатель \(q=3 . \)
Найдите второй член этой прогрессии \(b_2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти второй член, значит \(n=2 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{2}=5 \cdot 3^{2-1} = 5 \cdot 3^{1} = 5 \cdot 3=15 \)
Задача 4. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=2, \ \) а ее знаменатель \(q=4 . \)
Найдите третий член этой прогрессии \(b_3 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти третий член, значит \(n=3 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{3}=2 \cdot 4^{3-1} = 2 \cdot 4^{2} = 2 \cdot 16=32 \)
Задача 5. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=3, \ \) а ее знаменатель \(q=3 . \)
Найдите третий член этой прогрессии \(b_3 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти третий член, значит \(n=3 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{3}=3 \cdot 3^{3-1} = 3 \cdot 3^{2} = 3 \cdot 9=27 \)
Задача 6. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=3, \ \) а ее знаменатель \(q=3 . \)
Найдите пятый член этой прогрессии \(b_5 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти пятый член, значит \(n=5 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{5}=3 \cdot 3^{5-1} = 3 \cdot 3^{4} = 3^{5}= 243 \)
Задача 7. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=9, \ \) а ее знаменатель \(q=0,5 . \)
Найдите второй член этой прогрессии \(b_2 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если попроще, то:
\(b_2=b_1 \cdot q =9 \cdot 0,5=4,5 \)
Или по
формуле\(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти второй член, значит \(n=2 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{2}=9 \cdot 0,5^{2-1} = 9 \cdot 0,5^{1} = 9 \cdot 0,5=4,5 \)
Задача 8. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=0,01, \ \) а ее знаменатель \(q=-10 . \)
Найдите четвертый член этой прогрессии \(b_4 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти второй член, значит \(n=4 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{4}=0,01 \cdot (-10)^{4-1} = 0,01 \cdot (-10)^{3} = 0,01 \cdot (-1000)=-10 \)
Задача 9. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=-1024, \ \) а ее знаменатель \(q=-\dfrac{1}{4} . \)
Найдите шестой член этой прогрессии \(b_6 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти шестой член, значит \(n=6 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{6}=-1024 \cdot (-\dfrac{1}{4})^{6-1} =-1024 \cdot \left ( -\dfrac{1}{4} \right )^{5}=
-1024 \cdot \left (-\dfrac{1}{1024} \right ) = 1 \)
Задача 10. (Геометрическая прогрессия)
Первый член геометрической прогрессии \( b_1=-625, \ \) а ее знаменатель \(q=-\dfrac{1}{5} . \)
Найдите седьмой член этой прогрессии \(b_7 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем
формулу \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
Нам нужно найти седьмой член, значит \(n=7 \)
Вставим числа в формулу:
\( b_{7}=-625 \cdot (-\dfrac{1}{5})^{7-1} =-5^4 \cdot \left ( -\dfrac{1}{5} \right )^{6}=
-5^4 \cdot \dfrac{1}{5^6} = -\dfrac{1}{5^2}= -\dfrac{1}{25}=-0,04 \)
Задачи с 11 по 20 простые.
Уровень сложности 3 из 10.
Задача 11. (Геометрическая прогрессия)
Второй член геометрической прогрессии \( b_2=10, \ \) а ее знаменатель \(q=2 . \)
Найдите первый член этой прогрессии \(b_1 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если попроще, то:
\( b_1=\dfrac{b2}{q}= \dfrac{10}{2}=5 \)
Или по формуле \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
У нас есть второй член, значит \(n=2 \)
\( b_{2}=b_1q^{2-1}= b_1q^1 \)
\( b_{2}= b_1q \)
Вставим числа в формулу:
\( 10=b_1 \cdot 2 \)
\( b_1= \dfrac{10}{2}=5 \)
Задача 12. (Геометрическая прогрессия)
Второй член геометрической прогрессии \( b_2=-0,5 \ \) а ее знаменатель \(q=0,1 . \)
Найдите первый член этой прогрессии \(b_1 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если попроще, то:
\( b_1=\dfrac{b2}{q}= \dfrac{-0,5}{0,1}=-5 \)
Или по формуле \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
У нас есть второй член, значит \(n=2 \)
\( b_{2}=b_1q^{2-1}= b_1q^1 \)
\( b_{2}= b_1q \)
Вставим числа в формулу:
\( -0,5=b_1 \cdot 0,1 \)
\( b_1= \dfrac{-0,5}{0,1}=-5 \)
Задача 13. (Геометрическая прогрессия)
Второй член геометрической прогрессии \( b_2=\dfrac{12}{13} , \ \) а ее знаменатель \(q= -\dfrac{12}{13}. \)
Найдите первый член этой прогрессии \(b_1 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если попроще, то:
\( b_1=\dfrac{b2}{q}=
\dfrac{ \ \ \ \ \left ( \dfrac{12}{13} \right ) \ \ \ }
{ \ \ \left ( -\dfrac{12}{13} \right ) \ \ \ }=-1 \)
Или по формуле \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
У нас есть второй член, значит \(n=2 \)
\( b_{2}=b_1q^{2-1}= b_1q^1 \)
\( b_{2}= b_1q \)
Вставим числа в формулу:
\( \dfrac{12}{13}=b_1 \cdot \left ( -\dfrac{12}{13} \right ) \)
\( b_1= \dfrac{ \ \ \ \ \left ( \dfrac{12}{13} \right ) \ \ \ }
{ \ \ \left ( -\dfrac{12}{13} \right ) \ \ \ }=-1 \)
Задача 14. (Геометрическая прогрессия)
Второй член геометрической прогрессии \( b_2=-\dfrac{2}{9} , \ \) а ее знаменатель \(q= -\dfrac{8}{9}. \)
Найдите первый член этой прогрессии \(b_1 . \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Если попроще, то:
\( b_1=\dfrac{b2}{q}=
\dfrac{ \ \ \ \ \left ( -\dfrac{2}{9} \right ) \ \ \ }
{ \ \ \left ( -\dfrac{8}{9} \right ) \ \ \ }= -\dfrac{2}{9}: \left ( -\dfrac{8}{9} \right )=
\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{9}{8}=0,25 \)
Или по формуле \(n\)-ного члена геометрической прогрессии:
\( b_{n}=b_1q^{n-1} \)
У нас есть второй член, значит \(n=2 \)
\( b_{2}=b_1q^{2-1}= b_1q^1 \)
\( b_{2}= b_1q \)
Вставим числа в формулу:
\( -\dfrac{2}{9}=b_1 \cdot \left ( -\dfrac{8}{9} \right ) \)
\( b_1= \dfrac{ \ \ \ \ \left ( -\dfrac{2}{9} \right ) \ \ \ }
{ \ \ \left ( -\dfrac{8}{9} \right ) \ \ \ }=
-\dfrac{2}{9}: \left ( -\dfrac{8}{9} \right )=0,25
\)
Задачи с 20 по 30 средней сложности.
Уровень сложности 4 из 10.
Задачи с 30 по 40 умеренно сложные.
Уровень сложности 6 из 10.
Задача 41. (Геометрическая прогрессия)
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 3, а сумма квадратов
первых трех членов этой прогрессии равна 21.
Найти первые три члена и знаменатель этой прогрессии.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
\( \left\{\begin{matrix}
b_1+b_2+b_3=3
& & \\
b_1^2+b_2^2+b_3^2=21
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
b_1+b_1q+b_1q^2=3
& & \\
b_1^2+(b_1q)^2+(b_1q^2)^2=21
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
b_1+b_1q+b_1q^2=3
& & \\
b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2 q^4=21
& &
\end{matrix}\right. \)
\( \left\{\begin{matrix}
b_1(1+q+q^2)=3
& & \\
b_1^2(1+q^2+ q^4)=21
& &
\end{matrix}\right. \)
(2):(1)
\( \dfrac{b_1^2(1+q^2+ q^4)}{ b_1(1+q+q^2)}=\dfrac{21}{3} \)
\( \dfrac{b_1(1+q^2+ q^4)}{ (1+q+q^2)}=7 \)
\( \dfrac{b_1(q^4+q^2+1)}{ (q^2 +q+1)}=7 \)
\( b_1(q^2-q+1)=7 \)
\( \left\{\begin{matrix}
b_1(1+q+q^2)=3
& & \\
b_1(q^2-q+1)=7
& &
\end{matrix}\right. \)
(2):(1)
\( \dfrac{b_1(q^2-q+1)}{ b_1(1+q+q^2)}=\dfrac{7}{3} \)
\( \dfrac{(q^2-q+1)}{ (1+q+q^2)}=\dfrac{7}{3} \)
\( 3(q^2-q+1) = 7(1+q+q^2) \)
\(3q^2-3q+3=7+7q+7q^2 \)
\(4q^2+10q+4=0 \)
\(2q^2+5q+2=0 \)
\(D=(5)^2-4 \cdot 2 \cdot 2 =25-16=9 \)
\( q_1=\dfrac{-5+\sqrt{9} }{4}= -0,5 \)
\( b_1(1+q+q^2)=3 \)
\( b_1(1-0,5+(-0,5)^2)=3 \)
\( q_2=\dfrac{-5-\sqrt{9} }{4}= -2 \)