Задачи на теорию относительности.
Релятивистская масса
В ходе решения задач по физике мы привыкли к тому, что вес тела мог изменяться, но масса тела всегда была неизменна.
Удивительно, но масса тела зависит от его скорости,она увеличивается с возрастанием скорости, но чтобы эта разница была заметна объект должен двигаться с
очень большой скоростью.
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(m_0\) это масса покоя - та масса, к которой мы привыкли
\(v \) это скорость объекта
\(c \) это скорость света \(c=3\cdot 10^8 м/с \)
Задача 1. (Теория относительности, релятивистская масса)
При рождении астероид имел массу \(m_0=100000000 \; кг \) и двигался с очень малой скоростью.
При входе в атмосферу земли скорость астероида составляла \(v=72000 м/с \)
Найти массу астероида при входе в атмосферу.
Считать, что количество молекул астероида при рождении равно количеству молекул при входе в атмосферу
Ответ округлить до десятых долей килограмма
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( m=100000002,9 кг \)
Дано:
\(m_0=100000000 \; кг \)
\(v=72000 \; м/с \)
\(c=3\cdot 10^8 \; м/с \)
\(m-? \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(m=\dfrac{100000000}{\sqrt{1-\dfrac{7200^2}{(3\cdot 10^8)^2}}}=100000002,88 \;кг \approx 100000002,9 \; кг\)
Ответ: \( m=100000002,9 \; кг \)
Задача 2. (Теория относительности, релятивистская масса)
При рождении астероид имел массу \(m_0=100000000 \; кг \) и двигался с очень малой скоростью.
При входе в атмосферу земли скорость астероида составляла \(v=72000 м/с \)
Считать, что количество молекул астероида при рождении равно количеству молекул при входе в атмосферу.
На сколько килограммов возросла масса астероида?
Ответ округлить до десятых долей килограмма
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \Delta m= 2,9 \; кг \)
Дано:
\(m_0=100000000 \; кг \)
\(v=72000 \; м/с \)
\(c=3\cdot 10^8 \; м/с \)
\( \Delta m-? \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(m=\dfrac{100000000}{\sqrt{1-\dfrac{7200^2}{(3\cdot 10^8)^2}}}=100000002,88 \;кг \approx 100000002,9 \; кг\)
\(\Delta m= m-m_0= 100000002,9 \; кг-100000000 \; кг=2,9 \; кг \)
Ответ: \( \Delta m= 2,9 \; кг \)
Задача 3. (Теория относительности, релятивистская масса)
Во сколько раз масса протона в электронном ускорителе больше его массы покоя, если его скорость в нем
составляет \(v=2,98 \cdot 10^8 м/с \) ?
Скорость света \(c=3\cdot 10^8 м/с \)
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{m}{m_0}=9 \)
Дано:
\(c=3\cdot 10^8 \; м/с \)
\(v=2,98\cdot 10^8 \; м/с \)
\( \dfrac{m}{m_0}-? \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
Разделим обе части уравнения на массу покоя \(m_0 :\)
\(\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{1}{\sqrt{1- \left( \dfrac{2,98\cdot 10^8}{3\cdot 10^8} \right)^2 } } \approx 8,6747 \approx 9 \)
Ответ: \( \dfrac{m}{m_0}=9 \)
Задача 4. (Теория относительности, релятивистская масса)
Во сколько раз релятивистская масса электрона в ускорителе больше его массы покоя, если его скорость в нем
составляет \(v=0,6c \) ?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{m}{m_0}=1,25 \)
Дано:
\(v=0,6c \)
\( \dfrac{m}{m_0}-? \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
Разделим обе части уравнения на массу покоя \(m_0 :\)
\(\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{1}{\sqrt{1- \left( \dfrac{0,6c}{c} \right)^2 } } =
\dfrac{1}{\sqrt{1- 0,36 } } =1,25 \)
Ответ: \( \dfrac{m}{m_0}=1,25 \)
Задача 5. (Теория относительности, релятивистская масса)
С какой скоростью должна двигаться элементарная частица, чтобы ее масса возросла вдвое?
Скорость света \(c=3\cdot 10^8 м/с \)
Ответ дать в километрах в секунду,
округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( v=259808 км/с \)
Запишем формулу релятивистской массы:
Дано:
\(c=3\cdot 10^8 \; м/с \)
\(m=2m_0 \)
\( v-? \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
Возведем в квадрат обе части уравнения:
\(m^2=\dfrac{m_0^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \)
Разделим на квадрат массы обе части уравнения:
\( 1 =\dfrac{\dfrac{ m_0^2}{m^2}}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \)
\( 1-\dfrac{v^2}{c^2}= \dfrac{m_0^2}{m^2} \)
\( -\dfrac{v^2}{c^2}= \dfrac{m_0^2}{m^2}-1 \)
\( \dfrac{v^2}{c^2}= -\dfrac{m_0^2}{m^2}+1 \)
\( \dfrac{v^2}{c^2}= 1-\dfrac{m_0^2}{m^2} \)
\( v^2= c^2(1-\dfrac{m_0^2}{m^2}) \)
\( v= c \cdot \sqrt{1-\dfrac{m_0^2}{m^2}}= c \cdot \sqrt{1- \left ( \dfrac{m_0}{m} \right )^2 } \)
\( v= 3\cdot 10^8 \cdot \sqrt{1- ( 0,5 )^2 } = 259807621 м/с \approx 259808 км/с \)
Ответ: \( v=259808 км/с \)
Задача 7. (Теория относительности)
Определить импульс нейтрона, если его скорость \(v=2,99 \cdot 10^8 м/с . \)
Масса покоя нейтрона \(m_0=1,7 \cdot 10^{-27} кг .\)
Скорость света \(c=3\cdot 10^8 м/с \)
Дать ответ в виде числа стандартного вида
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( p= 6,23 \cdot 10^{-18} кг \cdot м/с \)
Дано:
\(m_0=1,7 \cdot 10^{-27} кг \)
\(c=3\cdot 10^8 \; м/с \)
\(v=2,99\cdot 10^8 \; м/с \)
\( p-? \)
\( p=mv \)
\(m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} \)
\(m=\dfrac{1,7 \cdot 10^{-27}}{\sqrt{1- \left ( \dfrac{2,99\cdot 10^8}{3\cdot 10^8}\right ) } }=
\dfrac{1,7 \cdot 10^{-27}}{0,08158158842}=20,84\cdot 10^{-27} кг \)
\( p=mv = 20,84\cdot 10^{-27} кг \cdot 2,99\cdot 10^8 \; м/с=62,3 \cdot 10^{-19} кг \cdot м/с \)
\( 62,3 \cdot 10^{-19} кг \cdot м/с=6,23 \cdot 10^{-18} кг \cdot м/с \)
Ответ: \( p= 6,23 \cdot 10^{-18} кг \cdot м/с \)