Пружинный маятник .
Пружинный маятник представляет из себя груз на пружине.
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(k\) - жесткость пружины маятника
\(m\) - масса груза
Задача 1.
Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=8 Н/м \), а масса его груза
\(m=0,5 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(m=0,5 кг\)
\(k=8 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(T-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{0,5 кг }{8 Н/м}}=1,57 с \)
Ответ: \( T=1,57 с \)
Задача 2.
Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=81 Н/м \), а масса его груза
\(m=1 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до десятых
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(m=1 кг\)
\(k=81 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(T-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{1 кг }{81 Н/м}} = 0,69(7) с \)
\( T = 0,69(7) \approx 0,7 с \)
Ответ: \( T=0,7 с \)
Задача 3.
Вычислить период \(T\) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=400 Н/м \), а масса его груза
\(m=0,25 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до сотых
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(m=0,25 кг\)
\(k=400 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(T-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\( T=2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\dfrac{0,25 кг }{400 Н/м}} = 0,157 с \)
\( T = 0,157 \approx 0,16 с \)
Ответ: \( T=0,16 с \)
Задача 4.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период \( T=1 с \)
, а коэффициент жесткости пружины \( k=400 Н/м \; \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(4 \pi^2\)
Дано:
\( T=1 с \)
\( k=400 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(m-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\( \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2}=m \)
\(m= \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2} \)
\(m= \dfrac{(1 с)^{2} \cdot 400 Н/м }{4 \cdot 3,14^2} =10,142399 кг \; \approx 10 кг \)
\(m=10 кг\)
Ответ: \( m=10 кг \)
Задача 5.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период \( T=0,3 с \)
, а коэффициент жесткости пружины \( k=350 Н/м \; \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до десятых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(4 \pi^2\)
Дано:
\( T=0,3 с \)
\( k=350 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(m-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\( \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2}=m \)
\(m= \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2} \)
\(m= \dfrac{(0,3 с)^{2} \cdot 350 Н/м }{4 \cdot 3,14^2} =0,79871 кг \; \approx 0,8 кг \)
\(m=0,8 кг\)
Ответ: \( m=0,8 кг \)
Задача 6.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период \( T=0,07 с \)
, а коэффициент жесткости пружины \( k=150 Н/м \; \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до сотых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(4 \pi^2\)
Дано:
\( T=0,07 с \)
\( k=150 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(m-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\( \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2}=m \)
\(m= \dfrac{T^{2} k}{4 \pi^2} \)
\(m= \dfrac{(0,07 с)^{2} \cdot 150 Н/м }{4 \cdot 3,14^2} =0,0186366 кг \; \approx 0,02 кг \)
\(m=0,02 кг\)
Ответ: \( m=0,02 кг \)
Задача 7.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период \( T=0,07 с \)
, а масса груза \( m=0,0186 кг \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(T^2\)
Дано:
\( T=0,07 с \)
\( m=0,0186 кг \)
\(\pi=3,14 \)
\(k-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\(kT^2=4 \pi^2 m \)
\( k=\dfrac{4 \pi^2 m}{T^2} \)
\(k= \dfrac{ 4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,0186 кг}{(0,07 с)^{2}} =149,7049 Н/м \; \approx 150 Н/м \)
\(k=150 Н/м\)
Ответ: \( k=150 Н/м\)
Задача 8.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период \( T=0,32 с \)
, а масса груза \( m=0,8 кг \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(T^2\)
Дано:
\( T=0,32 с \)
\( m=0,8 кг \)
\(\pi=3,14 \)
\(k-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\(kT^2=4 \pi^2 m \)
\( k=\dfrac{4 \pi^2 m}{T^2} \)
\(k= \dfrac{ 4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,8 кг}{(0,32 с)^{2}} =307,1526 Н/м \; \approx 307 Н/м \)
\(k=307 Н/м\)
Ответ: \( k=307 Н/м\)
Задача 9.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период \( T=0,6 с \)
, а масса груза \( m=4 кг \)
\(\pi=3,14 \).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на \( k \)
и разделим на \(T^2\)
Дано:
\( T=0,6 с \)
\( m=4 кг \)
\(\pi=3,14 \)
\(k-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}} \)
\(T^2=4 \pi^2 \dfrac{m}{k} \)
\(kT^2=4 \pi^2 m \)
\( k=\dfrac{4 \pi^2 m}{T^2} \)
\(k= \dfrac{ 4 \cdot 3,14^2 \cdot 4 кг}{(0,6 с)^{2}} =438,20(4) Н/м \; \approx 438 Н/м \)
\(k=438 Н/м\)
Ответ: \( k=438 Н/м\)
Задача 10.
Найти частоту колебаний \( \nu \) пружинного маятника, если жесткость его пружины \(k=400 Н/м \), а масса его груза
\(m=0,25 кг \) ,
\(\pi=3,14 \)
Ответ округлить до сотых
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \nu= 6,37 Гц \)
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(m=0,25 кг\)
\(k=400 Н/м \)
\(\pi=3,14 \)
\(T-? \)
\(T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m}}{\sqrt{k}} \)
\( \nu=\dfrac {1}{T} =1:T=\dfrac {1}{1}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m}}{\sqrt{k}}=\dfrac {1}{1}\cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m}} = \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m}}=\dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}} \)
\( \nu=\dfrac{1}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{k}{m}} \)
\( \nu=\dfrac {1}{2 \cdot 3,14}\sqrt{\dfrac{ 400 Н/м }{ 0,25 кг}}=6,36942675 Гц \approx 6,37 Гц \)
Ответ: \( \nu= 6,37 Гц \)
Задача 15.
Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого
пружинного маятника?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=2 \)
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\( \dfrac{m_2}{m_1}=4 \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}-? \)
\(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)
\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1} } = \sqrt{ 4} =2 \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этой\; строки \)
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=2 \)
Задача 16.
Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого
пружинного маятника?
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=5 \)
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\( \dfrac{m_2}{m_1}=25 \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}-? \)
\(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)
\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1} } = \sqrt{ 25} =5 \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этой\; строки \)
Ответ: \( \dfrac{T_2}{T_1}=5 \)
Задача 25.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом \(T_1=0,4 с. \;\; \)
Масса его груза \(m_1=1 кг \).
В какой-то момент
к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой \(m_2=3 кг. \; \)
Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(T_1=0,4 с. \;\; \)
\(m_1=1 кг \)
\(m_2=3 кг. \; \)
\(T_2-? \)
\(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)
\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{m_1} }= \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1} } \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)
\( T_2= T_1 \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{m_1} } \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)
\( T_2= 0,4 с \cdot \sqrt{\dfrac{1 кг+3 кг}{1 кг} } =0,8с \;\;\;\;\; Некоторым\; достаточно\; этих\; трех\; строк \)
Ответ: \( T_2= 0,8с \)
Задача 30.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом \(T_1=0,15 с. \;\; \)
Масса его груза \(m_1= 0,6 кг \).
В какой-то момент
к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз , после чего
его период стал равен \(T_2=0,45 с \)
Найти массу \(m_2 \) дополнительного груза.
Показать ответ
Показать решение
Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Дано:
\(T_1=0,15 с. \;\; \)
\(m_1=0,6 кг \)
\( T_2=0,45 с \)
\(m_2-? \)
\(T_1=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}= 2 \pi \dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}= \dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}}:\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1}}{\sqrt{k}} \)
\(\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{2 \pi\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{k}} \cdot \dfrac{\sqrt{k}}{ 2 \pi\sqrt{m_1} } \)
\( \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{\sqrt{m_1+m_2}}{\sqrt{m_1} } \;\;\;\;\; Кому\; лень \;вникать, \; начинайте \; отсюда \)
\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 =\dfrac{m_1+m_2}{m_1 } \)
\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1=m_1+m_2 \)
\( \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1-m_1=m_2 \)
\(m_2= \left ( \dfrac{T_2}{T_1} \right )^2 m_1-m_1 \)
\(m_2=m_1( \dfrac{T_2^2}{T_1^2} -1 ) \)
\(m_2=0,6 кг ( \left ( \dfrac{0,45 с}{0,15 с } \right )^2 -1 ) =4,8 кг \)
\( m_2= 4,8 кг \)
Ответ: \( m_2= 4,8 кг \)