Биссектриса, медиана и высота

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
  медиана
\( AD=BD\)
\(CD- медиана\)
  



Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону
  Высота треугольника      Второй признак равенства треугольников
\(AH \) Высота треугольника \( ABC \)                           \(FE \) Высота треугольника \( HFD \)






  Биссектриса,медиана и высота

1. В треугольнике \(ABC \:\: BH \) медиана и высота . Доказать равенство треугольников \(ABH и BHC\).


  

\(BH\) общая


Дано: \(BH \) медиана и высота

Доказать: \(ΔABH=ΔBHC\)

     Доказательство:

\( 1)\:\: AH=HC \) (так как \(BH\) медиана )
2) \(∡AHB=∡BHC=90^0 \) (так как \(BH\) высота)
3) \(BH\) общая
\(\Rightarrow ΔABH=ΔBHC\) по первому признаку.


ПОЗЖЕ






  Биссектриса,медиана и высота

2. В треугольнике \(ABC \:\: BH \) медиана и высота . \(AB=7\) Найти \(BC \).


  

\( BC= 7 \)


Дано: \(BH \) медиана и высота, \(AB=7 \)

Найти: \(BC\)

     Сначала докажем равенство треугольников \(ABH \) и \( BHC \) :

\( 1)\:\: AH=HC \) (так как \(BH\) медиана )
2) \(∡AHB=∡BHC=90^0 \) (так как \(BH\) высота)
3) \(BH\) общая
\(\Rightarrow ΔABH=ΔBHC\) по первому признаку.

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны

\(AB \) лежит против \( ∡AHB \) , \(BC \) лежит против \( ∡BHC \) \( ∡AHB= ∡BHC \Rightarrow BC= AB=7 \)

Ответ: \( BC= 7 \)


ПОЗЖЕ







5. Отрезки \(AC и BD\) точкой пересечения \(O\) делятся пополам, доказать равенство треугольников \(AOB и DOC\)




  

\(∡AOB=∡DOC\) так как это вертикальные углы.


  Первый признак равенства треугольников

Дано: точка \(O\)- середина \(AC и BD\)
Доказать: \(ΔAOB=ΔCOD\)

     Доказательство:

1) \(AO=OC\) (так как точка \(O\) середина \(AC\))
2) \(DO=OB\) (так как точка \(O\) середина \(BD\))
3) \(∡AOB=∡DOC\) так как это вертикальные углы.
\(\Rightarrow ΔAOB=ΔDOC\) по первому признаку.


ПОЗЖЕ