Биссектриса

Биссектриса это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.


  Биссектриса
\(BD \) биссектриса угла \( ABC \)
\( \:\:∡ABD=∡DBC\)





  Биссектриса
1. Угол \(ABC\) прямой.  \(BD\)- его биссектриса. Найти градусную меру угла \(ABD\)


  

Прямой угол это угол, градусная мера которого составляет 90 градусов

  биссектриса

\(∡ABC= \: 90^0 \)

\(∡ABD= \: 90^0 : 2= \: 45^0 \)      (так как \(BD\) биссектриса)

Ответ: \(∡ABD= \: 45^0 \)


ПОЗЖЕ





  биссектриса
2.  На рисунке угол \(ABD\) равен углу \(CBE \) . \(DB\)-биссектриса угла \(ABC\). Найти угол \(ABE\) , если угол \(ABC\) прямой.


  

Ответ: \( ∡ABE=135^0 \)

\( ∡ABD= \dfrac{90^0}{2}=45^0 \) так как \(DB \) биссектриса

\( ∡DBC= \dfrac{90^0}{2}=45^0 \) так как \(DB \) биссектриса

\( ∡CBE=∡ABD \) по условию

\(\Rightarrow ∡CBE= 45^0 \)

\( ∡ABE=∡ABD+∡DBC+∡CBE=45^0+45^0+45^0=135^0 \)

Ответ: \( ∡ABE=135^0 \)


ПОЗЖЕ


  биссектриса
3.  \( ∡CBF=25^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=130^0 \)

\(∡CBA=25^0 \cdot 2 = 50^0 \)

\(∡CBA и ∡CBD смежные, значит : \)

\( ∡CBA + ∡CBD=180^0 \)

\( 50^0 + ∡CBD=180^0 \)

\( ∡CBD=180^0-50^0 \)

\( ∡CBD=130^0 \)

Ответ : \( ∡CBD=130^0 \)


ПОЗЖЕ





  биссектриса
4.  \( ∡CBF=30^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=120^0 \)

\(∡CBA=30^0 \cdot 2 = 60^0 \)

\(∡CBA и ∡CBD смежные, значит : \)

\( ∡CBA + ∡CBD=180^0 \)

\( 60^0 + ∡CBD=180^0 \)

\( ∡CBD=180^0-60^0 \)

\( ∡CBD=120^0 \)

Ответ : \( ∡CBD=120^0 \)


ПОЗЖЕ





  биссектриса
5.  \( ∡CBF=30^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=120^0 \)

\(∡CBA=30^0 \cdot 2 = 60^0 \)

\(∡CBA и ∡CBD смежные, значит : \)

\( ∡CBA + ∡CBD=180^0 \)

\( 60^0 + ∡CBD=180^0 \)

\( ∡CBD=180^0-60^0 \)

\( ∡CBD=120^0 \)

Ответ : \( ∡CBD=120^0 \)


ПОЗЖЕ





  биссектриса
6.  \( ∡CBF=35^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=110^0 \)

\(∡CBA=35^0 \cdot 2 = 70^0 \)

\(∡CBA и ∡CBD смежные, значит : \)

\( ∡CBA + ∡CBD=180^0 \)

\( 70^0 + ∡CBD=180^0 \)

\( ∡CBD=180^0-70^0 \)

\( ∡CBD=110^0 \)

Ответ : \( ∡CBD=110^0 \)


ПОЗЖЕ





  биссектриса
7.  \( ∡FBD=140^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=100^0 \)

\( \angle ABF и \angle FBD \) смежные

\( \angle ABF+\angle FBD=180^0 \)

\( \angle ABF+140^0=180^0 \)

\( \angle ABF=180^0-140^0 \)

\( \angle ABF=40^0 \)

\( \angle ABC=40^0\cdot 2=80^0 \)

\( \angle CBD=180^0-80^0=100^0 \)

Ответ : \( ∡CBD=100^0 \)


ПОЗЖЕ





Эта же задача с другим решением (для старшеклассников):

  биссектриса

7.  \( ∡FBD=140^0\)   \(BF\)- биссектриса угла \( CBA \). Найти градусную меру угла \(CBD\)


  

Ответ : \( ∡CBD=100^0 \)

Пусть \( \angle ABF=x, \; \) тогда \( \angle FBC=x \)

  биссектриса
\(\left\{\begin{matrix} x+x +\angle CBD=180^0 \\ \\ x +\angle CBD=140^0 \end{matrix}\right. \)

Умножим на 2 второе уравнение :

\( 2x +2\angle CBD=140\cdot2 \)

и вычтем из этого первое:

\( 2x +2\angle CBD-(x+x +\angle CBD)=140\cdot2-180 \)

\(\angle CBD=100 \)

Ответ: \( \angle CBD=100^0 \)


ПОЗЖЕ






10.  Найти угол, образованный биссектрисами двух смежных углов


  

Ответ: \( 90^0 \)

  биссектриса
\( Пусть \:\:∡ABE=x , \; тогда \:\:∡CBE=x \; \; \; (BE-биссектриса угла ABC) \)
\( Пусть \:\:∡CBF=y , \; тогда \:\:∡FBD=x \; \; \; (BF-биссектриса угла CBD) \)
\( ∡FBE=x+y \)
\(x+x+y+y=180 \)
\(2x+2y=180 \)
\( 2(x+y)=180 \)
\( x+y=90 \)
\( ∡FBE=90^0 \)
\( Ответ: 90^0 \)

ПОЗЖЕ



11.  Найти угол, образованный биссектрисами двух вертикальных углов


  

Ответ: \( 180^0 \)

  биссектриса

\( Ответ: 180^0 \)

ПОЗЖЕ