1.  Гипотенуза \(AB=14 , \; cos\:A = \dfrac{\sqrt{13}}{7}\). Найти катет \(CB\)


  

Ответ: \(CB=12 \)

Найдем синус угла \(A\) по основному тригонометрическому тождеству:

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\(sin^2 \;A+(\dfrac{\sqrt{13}}{7})^2=1\)

\(sin^2 \;A=1-\dfrac{13}{49} \)

\(sin^2 \;A=\dfrac{36}{49} \)

\(sin \;A=\dfrac{6}{7}= \dfrac{CB}{14}\)

\(CB=\dfrac{6\cdot14}{7}=12 \)

Ответ: \(CB=12 \)


ПОЗЖЕ



2. Гипотенуза \( AB= 2\sqrt{3} , \; cos\; A =\dfrac{\sqrt{13}}{4} \) . Найти катет \(CB\)


  

Ответ: \(CB=1,5 \)

Найдем синус угла \(A\) по основному тригонометрическому тождеству:

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\(sin^2 \;A+(\dfrac{\sqrt{13}}{4})^2=1\)

\(sin^2 \;A=1-\dfrac{13}{16} \)

\(sin^2 \;A=\dfrac{3}{16} \)

\(sin \;A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}= \dfrac{CB}{2\sqrt{3}}\)

\(CB=\dfrac{2\cdot \sqrt{3} \cdot\sqrt{3}}{4}=1,5 \)

Ответ: \(CB=1,5 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

3. Катет \( AC=\sqrt{21} ,\: а sin \:A=\dfrac{2}{\sqrt{7}} \) . Найти \(AB\).


  

Ответ: \( AB= 7 \)

Найдем косинус угла \(A\) по основному тригонометрическому тождеству:

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\( (\dfrac{2}{\sqrt{7}})^2+cos^2\;A =1 \)

\(cos^2 \;A=1-\dfrac{4}{7} \)

\(cos^2 \;A=\dfrac{3}{7} \)

\(cos \;A=\sqrt{\dfrac{3}{7}}= \dfrac{\sqrt{21}}{AB}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{AB} \)

\(\dfrac{1}{\sqrt{7}}= \dfrac{\sqrt{7}}{AB} \)

\(1 \cdot AB= \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \)

\( AB= 7 \)

Ответ: \( AB= 7 \)


ПОЗЖЕ




Решение прямоугольного треугольника

4. Катет \( CB=\sqrt{18} . \: а sin \:B=\dfrac{\sqrt{119}}{11} \) . Найти гипотенузу \(AB\).


  

Ответ: \( AB= 33 \)

Найдем косинус угла \(B\) по основному тригонометрическому тождеству:

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( (\dfrac{\sqrt{119}}{11})^2+cos^2\;B =1 \)

\(cos^2 \;B=1-\dfrac{119}{121} \)

\(cos^2 \;B=\dfrac{2}{121} \;\;\;\;\; cos \;B=\dfrac{\sqrt{2}}{11} \)

\(cos \;B=\dfrac{\sqrt{2}}{11}= \dfrac{\sqrt{18}}{AB}\)

\(\dfrac{\sqrt{2}}{11}= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{9}}{AB} \)

\(\dfrac{1}{11}= \dfrac{\sqrt{9}}{AB} \)

\(1 \cdot AB= 11 \cdot \sqrt{9} \)

\( AB= 11 \cdot 3= 33 \)

Ответ: \( AB= 33 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

5.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{19} ,\: а cos \:B=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}} \) . Найти \(AC\).


  

Ответ: \( AC=4 \)

Найдем синус угла \(B\) по основному тригонометрическому тождеству:

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( sin^2\;B+(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}})^2 =1 \)

\(sin^2 \;B=1-\dfrac{3}{19} \)

\(sin^2 \;B=\dfrac{16}{19} \;\;\;\;\; sin \;B=\dfrac{4}{\sqrt{19}} \)

\(sin \;B=\dfrac{4}{\sqrt{19}}= \dfrac{AC}{\sqrt{19}}\)

\(AC=4 \)

Ответ: \( AC=4 \)


ПОЗЖЕ




Решение прямоугольного треугольника

6.  Гипотенуза \( AB=5\sqrt{10} ,\: а tg \:A=\dfrac{1}{3} \) . Найти \(AC \).


  

Ответ: \( AC=15 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;A \) :

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\( \dfrac{sin^2\;A}{cos^2\;A}+\dfrac{cos^2\;A}{cos^2\;A} = \dfrac{1}{cos^2\;A}\)

\(tg^2 \;A+1=\dfrac{1}{cos^2\;A} \)

\(cos^2\;A \cdot ( tg^2 \;A+1)=1 \)

\(cos^2\;A =\dfrac{1}{tg^2\;A+1} \)

\(cos\;A =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;A+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;A\; острый \)

\(cos\;A =\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{(\dfrac{10}{9})}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;9\;\;\;}{10}} =\dfrac{\;\;\;3\;\;\;}{\sqrt{10}} \)

\(cos\;A =\dfrac{AC}{5\sqrt{10}}=\dfrac{\;\;\;3\;\;\;}{\sqrt{10}} \)

\(AC=\dfrac{5\sqrt{10} \cdot 3}{\sqrt{10}}=15 \)

Ответ: \( AC=15 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

7.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{19} ,\: а tg \:B=\dfrac{\sqrt{3}}{4} \) . Найти \(CB \).


  

Ответ: \( CB=4 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;B \) :

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( \dfrac{sin^2\;B}{cos^2\;B}+\dfrac{cos^2\;B}{cos^2\;B} = \dfrac{1}{cos^2\;B}\)

\(tg^2 \;B+1=\dfrac{1}{cos^2\;B} \)

\(cos^2\;B \cdot ( tg^2 \;B+1)=1 \)

\(cos^2\;B =\dfrac{1}{tg^2\;B+1} \)

\(cos\;B =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;B+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;B\; острый \)

\(cos\;B =\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{3}{16}+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{(\dfrac{19}{16})}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;16\;\;\;}{19}} =\dfrac{\;\;\;4\;\;\;}{\sqrt{19}} \)

\(cos\;B =\dfrac{CB}{\sqrt{19}}=\dfrac{\;\;\;4\;\;\;}{\sqrt{19}} \)

\(CB=\dfrac{\sqrt{19} \cdot 4}{\sqrt{19}}=4 \)

Ответ: \( CB=4 \)


ПОЗЖЕ




Решение прямоугольного треугольника

8.  Гипотенуза \( AB=\dfrac{\sqrt{8107}}{9} ,\: а tg \:B=\dfrac{\sqrt{7}}{90} \) . Найти \(CB \).


  

Ответ: \( CB=10 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;B \) :

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( \dfrac{sin^2\;B}{cos^2\;B}+\dfrac{cos^2\;B}{cos^2\;B} = \dfrac{1}{cos^2\;B}\)

\(tg^2 \;B+1=\dfrac{1}{cos^2\;B} \)

\(cos^2\;B \cdot ( tg^2 \;B+1)=1 \)

\(cos^2\;B =\dfrac{1}{tg^2\;B+1} \)

\(cos\;B =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;B+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;B\; острый \)

\(cos\;B =\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{7}{8100}+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{(\dfrac{8107}{8100})}}=\sqrt{\dfrac{8100}{8107}} =\dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

\(cos\;B =\dfrac{CB}{(\dfrac{\sqrt{8107}}{9})}=\dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

\(CB=\dfrac{\sqrt{8107}}{9} \cdot \dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

Ответ: \( CB=10 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

9.  Катет \( AC=5\sqrt{3} ,\: а tg \:A=\dfrac{\sqrt{858}}{15} \) . Найти \(AB \).


  

Ответ: \( AB=19 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;A \) :

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\( \dfrac{sin^2\;A}{cos^2\;A}+\dfrac{cos^2\;A}{cos^2\;A} = \dfrac{1}{cos^2\;A}\)

\(tg^2 \;A+1=\dfrac{1}{cos^2\;A} \)

\(cos^2\;A \cdot ( tg^2 \;A+1)=1 \)

\(cos^2\;A =\dfrac{1}{tg^2\;A+1} \)

\(cos\;A =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;A+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;A\; острый \)

\(cos\;A =\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{858}{225}+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{(\dfrac{1083}{225})}}=\sqrt{\dfrac{225}{1083}} =\dfrac{15}{\sqrt{1083}} \)

\(cos\;A =\dfrac{5\sqrt{3}}{AB}= \dfrac{15}{\sqrt{1083}} \)

\( 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{1083} = AB \cdot 15 \)

\( \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \cdot \sqrt{1083} = AB \)

\( AB= \dfrac{1}{3} \sqrt{3249}= \dfrac{1}{3} \cdot 57 =19 \)

Ответ: \( AB=19 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

10.  Гипотенуза \( AB=\dfrac{11\sqrt{67}}{9} ,\: а tg \:B=\dfrac{\sqrt{7}}{90} \) . Найти \(CB \).


  

Ответ: \( CB=10 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;B \) :

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( \dfrac{sin^2\;B}{cos^2\;B}+\dfrac{cos^2\;B}{cos^2\;B} = \dfrac{1}{cos^2\;B}\)

\(tg^2 \;B+1=\dfrac{1}{cos^2\;B} \)

\(cos^2\;B \cdot ( tg^2 \;B+1)=1 \)

\(cos^2\;B =\dfrac{1}{tg^2\;B+1} \)

\(cos\;B =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;B+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;B\; острый \)

\(cos\;B =\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{7}{8100}+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{(\dfrac{8107}{8100})}}=\sqrt{\dfrac{8100}{8107}} =\dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

\(cos\;B =\dfrac{CB}{(\dfrac{11\sqrt{67}}{9})}=\dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

\(CB=\dfrac{11\sqrt{67}}{9} \cdot \dfrac{\;\;\;90\;\;\;}{\sqrt{8107}} \)

Ответ: \( CB=10 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

11.  Катет \( AC=8 ,\: а tg \:B=\dfrac{33}{4\sqrt{33}} \) . Найти \(AB \).


  

Ответ: \( AB=14 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( cos^2\;A \) :

\(sin^2 \;A+cos^2\;A=1\)

\( \dfrac{sin^2\;A}{cos^2\;A}+\dfrac{cos^2\;A}{cos^2\;A} = \dfrac{1}{cos^2\;A}\)

\(tg^2 \;A+1=\dfrac{1}{cos^2\;A} \)

\(cos^2\;A \cdot ( tg^2 \;A+1)=1 \)

\(cos^2\;A =\dfrac{1}{tg^2\;A+1} \)

\(cos\;A =+\sqrt{\dfrac{1}{tg^2\;A+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;A\; острый \)

\(cos\;A =\sqrt{\dfrac{1}{(\dfrac{33}{4\sqrt{33}})^2+1}}=\sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{\dfrac{33^2}{16\cdot 33}+1}}= \sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{\dfrac{33}{16}+1}} = \sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;}{(\dfrac{49}{16})}}=\)

\( \sqrt{\dfrac{16}{49}}= \dfrac{4}{7} \)

\(cos\;A =\dfrac{8}{AB}=\dfrac{4}{7} \)

\(8 \cdot 7 = AB \cdot 4 \)

\(AB =14 \)

Ответ: \(AB =14 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

12.  Гипотенуза \( AB=6 ,\: а tg \:A=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \) . Найти \(CB \).


  

Ответ: \( CB=4 \)

Обозначим CB за "x", а AC за "y":

\( CB=x \;\;\;\;\;\;AC=y \)

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\ \\ x^2+y^2=6^2 \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix} y=\dfrac{\sqrt{5}x}{2}\\ \\ x^2+y^2=36 \end{matrix}\right. \)

\( x^2+(\dfrac{\sqrt{5}x}{2})^2=36 \)

\( x^2+\dfrac{5x^2}{4}=36 \)

\( 4x^2+5x^2=144 \)

\( 9x^2=144 \)

\( x^2=16 \)

\( x=4 \)    или    \( x=-4 \)

\( CB=4 \)

Ответ: \(CB=4\)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

13.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{462} ,\: а tg \:A=\sqrt{21} \) . Найти \(CB \).


  

Ответ: \( CB=21 \)

Обозначим CB за "x", а AC за "y":

\( CB=x \;\;\;\;\;\;AC=y \)

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y}=\sqrt{21}\\ \\ x^2+y^2=\sqrt{462}^2 \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix} y=\dfrac{x}{\sqrt{21}}\\ \\ x^2+y^2=462 \end{matrix}\right. \)

\( x^2+(\dfrac{x}{\sqrt{21}})^2=462 \)

\( x^2+\dfrac{x^2}{21}=462 \)

\( 21x^2+x^2=9702 \)

\( 22x^2=9702 \)

\( x^2=441 \)

\( x=21 \)    или    \( x=-21 \)

\( CB=21 \)

Ответ: \(CB=21\)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

14.  Гипотенуза \( AB=212\sqrt{13} ,\: а tg \:B=\dfrac{27}{\sqrt{35788}} \) . Найти \(AС \).


  

Ответ: \( AC =108 \)

Разделим основное тригонометрическое тождество на \( sin^2\;B \) :

\(sin^2 \;B+cos^2\;B=1\)

\( \dfrac{sin^2\;B}{sin^2\;B}+\dfrac{cos^2\;B}{sin^2\;B} = \dfrac{1}{sin^2\;B}\)

\(ctg^2 \;B+1=\dfrac{1}{sin^2\;B} \)

\(sin^2\;B \cdot ( ctg^2 \;B+1)=1 \)

\(sin^2\;B =\dfrac{1}{ctg^2\;B+1} \)

\(sin\;B =+\sqrt{\dfrac{1}{ctg^2\;B+1}} \;\;\;\;\;\;\;так\;как\;угол\;B\; острый \)

\(tg \;B \cdot ctg \;B=1 \) , поэтому \(ctg \:B=\dfrac{\sqrt{35788}}{27} \)

\(sin\;B =\sqrt{\dfrac{1}{(\dfrac{\sqrt{35788}}{27})^2+1}}= \sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{\dfrac{35788}{729}+1}}= \sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;\;}{\dfrac{35788}{729}+\dfrac{729}{729}}} = \sqrt{\dfrac{\;\;\;1\;\;}{(\dfrac{36517}{729})}}=\)

\(= \sqrt{\dfrac{729}{36517}}= \dfrac{27}{\sqrt{36517}} \)

\(sin\;A =\dfrac{27}{\sqrt{36517}}=\dfrac{AC}{212\sqrt{13}} \)

\( AC=\dfrac{27\cdot212 \sqrt{13}}{\sqrt{36517}}=\dfrac{5724}{\sqrt{2809}}=\dfrac{5724}{53}=108 \)

Ответ: \(AC =108 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

20.  Гипотенуза \( AC=24 ,\: а sin \:B=0,5 \) . Найти \(AH \).


  

Ответ: \( AH=12 \)

В любом прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, это значит, что \(cos \:A=0,5 \)

\(cos \:A=0,5=\dfrac{AH}{AC} \)

\(0,5=\dfrac{AH}{24} \)

\(AH=12 \)

Ответ: \( AH=12 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

21.  Гипотенуза \( AC=345 ,\: а sin \:B=0,2 \) . Найти \(AH \).


  

Ответ: \( AH=69 \)

В любом прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, это значит, что \(cos \:A=0,2 \)

\(cos \:A=0,2=\dfrac{AH}{AC} \)

\(0,2=\dfrac{AH}{345} \)

\(AH=69 \)

Ответ: \( AH=69 \)


ПОЗЖЕ







1. Контрольный    7
Гипотенуза \(AB=\sqrt{60} , \; cos\:A = \dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{60}}\). Найти катет \(CB\)






2. Контрольный    9,5
Гипотенуза \(AB=9\sqrt{5} , \; cos\:A = \sqrt{\dfrac{1259}{1620}} \). Найти катет \(CB\)






3. Контрольный    6
Гипотенуза \(AB=\sqrt{85} , \; cos\:A = \dfrac{7\sqrt{85}}{85} \). Найти катет \(CB\)






4. Контрольный    11
Гипотенуза \(AB=\sqrt{131} , \; cos\:B = \sqrt{\dfrac{ 10}{131}} \). Найти катет \(AC\)






5. Контрольный    2,5
Гипотенуза \(AB=\dfrac{\sqrt{89}}{2} , \; cos\:B = \dfrac{ 8}{\sqrt{89}} \). Найти катет \(AC\)






6. Контрольный    48
Гипотенуза \(AB=56 , \; cos\:A = \dfrac{ \sqrt{13}}{7} \). Найти катет \(CB\)






7. Контрольный    30
Катет \(AC=27 , \; tg\:A = \dfrac{ \sqrt{19}}{9} \). Найти гипотенузу \(AB\)






8. Контрольный    8
Катет \(CB=\sqrt{2} , \; tg\:B = \sqrt{31} \). Найти гипотенузу \(AB\)






9. Контрольный    531
Гипотенуза \(AB=909 , \; tg\:B = \dfrac{59}{4\sqrt{420}} \). Найти катет \(AC\)






10. Контрольный    54
Гипотенуза \(AB=106\sqrt{13} , \; tg\:B = \dfrac{27}{\sqrt{35788}} \). Найти катет \(AC\)






11. Контрольный    146(проверено)
Гипотенуза \(AB=14\sqrt{213} , \; tg\:B = \dfrac{73}{2\sqrt{1277}} \). Найти катет \(AC\)






12. Контрольный(Решается как номер 20)    37,5
\(AC=93,75 , \; sin\:B = 0,4 \). Найти \(AH\)