Синус, косинус и тангенс .

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение (деление) противолежащего катета на гипотенузу

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение (деление) прилежащего катета на гипотенузу


\(sin \: A = \dfrac{BC}{AB} \)
\(cos \: A = \dfrac{AC}{AB} \)







1.  Гипотенуза \(AB=2\), а синус угла \(A\) равен \(\dfrac{1}{2}\). Найти катет \(BC\)


  

Ответ: \(BC = 1\)

\(sin A=\dfrac{1}{2}\)

\( sin A = \dfrac {BC}{AB} \)

\(\dfrac {1}{2}= \dfrac {BC}{2}\)

\(\dfrac{1}{2}\cdot2=\dfrac{BC}{2}\cdot2 \)

\(1=BC \)

\(BC=1 \)

Ответ: \(BC = 1\)


ПОЗЖЕ


Теорема Пифагора

2. Гипотенуза \( AB=6 , sin A =\dfrac{2}{3} \) . Найти катет \(BC\)


  

Ответ: \(BC = 4\)

\(sin A=\dfrac{2}{3}\)

\( sin A = \dfrac {BC}{AB} \)

\(\dfrac {2}{3}= \dfrac {BC}{6}\)

\(\dfrac{2}{3}\cdot6=\dfrac{BC}{6}\cdot6 \)

\(4=BC \)

\(BC=4 \)

Ответ: \(BC = 4\)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

3. Гипотенуза \( AB=4 ,\: а sin \:A=\dfrac{3}{4} \) . Найти \(BC\).


  

Ответ: \(BC = 3\)

\(sin A=\dfrac{3}{4}\)

\( sin A = \dfrac {BC}{AB} \)

\(\dfrac {3}{4}= \dfrac {BC}{4}\)

\(\dfrac{3}{4}\cdot4=\dfrac{BC}{4}\cdot4 \)

\(3=BC \)

\(BC=3 \)

Ответ: \(BC = 3\)




Решение прямоугольного треугольника

4. Гипотенуза \( AB=0,5 . \: а sin \:A=\dfrac{2}{5} \) . Найти \(BC\).


  

Ответ: \(BC = 0,2\)

\( sin \: A=\dfrac{2}{5} \)

\( sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {2}{5}= \dfrac {BC}{0,5} \)

\( \dfrac{2}{5}\cdot0,5=\dfrac{BC}{0,5}\cdot0,5 \)

\( \dfrac{1}{5}=BC \)

\( BC=\dfrac{1}{5}=0,2 \)

Ответ: \( BC = 0,2 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

5.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{2} ,\: а sin \:A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) . Найти \(BC\).


  

Ответ: \( BC = 1 \)

\( sin \: A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\( sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {\sqrt{2}}{2}= \dfrac {BC}{\sqrt{2}} \)

\( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2} \)

\( 1=BC \)

\( BC=1 \)

Ответ: \( BC = 1 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

6. Гипотенуза \( AB=\sqrt{3} ,\: а sin \:A=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) . Найти \(BC\).


  

\( BC = 1,5 \)

\( sin \: A=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {\sqrt{3}}{2}= \dfrac {BC}{\sqrt{3}} \)

\( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{BC}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3} \)

\( \dfrac{3}{2}=BC \)

\( BC=1,5 \)

Ответ: \( BC = 1,5 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

7.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{3} ,\: а sin \:A=\dfrac{2}{3} \) . Найти \(BC\).


  

\( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \)

\( sin \: A=\dfrac{2}{3} \)

\( sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {2}{3}= \dfrac {BC}{\sqrt{3}} \)

\( \dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{BC}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3} \)

\( \dfrac{2\sqrt{3}}{3}=BC \)

\( BC=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( BC = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

8.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{2} ,\: а sin \:A=\dfrac{\sqrt{8}}{10} \) . Найти \(BC\).


  

Ответ: \( BC = 0,4 \)

\( sin \: A=\dfrac{\sqrt{8}}{10} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {BC}{\sqrt{2}} = \dfrac {\sqrt{8}}{10} \)

\( \dfrac{BC}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{8}}{10}\cdot \sqrt{2} \)

\( BC=\dfrac{\sqrt{16}}{10} \)

\( BC=\dfrac{4}{10}=0,4 \)

Ответ: \( BC = 0,4 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

9.  Катет \( BC=5 ,\: а sin \:A=\dfrac{1}{2} \) . Найти гипотенузу \(AB\).


  

\( AB = 10 \)

\( sin \: A=\dfrac{1}{2} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {1}{2} = \dfrac {5}{AB} \)

\( \dfrac{1}{2}\cdot 2AB=\dfrac{5}{AB}\cdot 2AB \)

\( AB=2\cdot5=10 \)

Ответ: \( AB = 10 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

10. Катет \( BC=5 ,\: а sin \:A=\dfrac{2}{5} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB = 12,5 \)

\( sin \: A=\dfrac{2}{5} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {2}{5} = \dfrac {5}{AB} \)

\( \dfrac{2}{5}\cdot 5AB=\dfrac{5}{AB}\cdot 5AB \)

\(2\cdot AB=5\cdot5 \)

\(AB=12,5 \)

Ответ: \( AB = 12,5 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

11.  Катет \( BC=0,2 . \: sin \:A=\dfrac{2}{7} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB = 0,7 \)

\( sin \: A=\dfrac{2}{7} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {2}{7} = \dfrac {0,2}{AB} \)

\( \dfrac{2}{7}\cdot 7AB=\dfrac{0,2}{AB}\cdot 7AB \)

\(2\cdot AB=7\cdot0,2 \)

\(AB=0,7 \)

Ответ: \( AB = 0,7 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

12.  Катет \( BC=\sqrt{2} . \: sin \:A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB = 2 \)

\( sin \: A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {\sqrt{2}}{2} = \dfrac {\sqrt{2}}{AB} \)

\( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2AB=\dfrac{\sqrt{2}}{AB}\cdot 2AB \)

\(\sqrt{2}\cdot AB=2 \cdot \sqrt{2} \)

\(AB=2 \)

Ответ: \( AB = 2 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

13.  Катет \( BC=\sqrt{12} . \: sin \:A=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB = 4 \)

\( sin \: A=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\;\;\;\;\;\; sin \:A = \dfrac {BC}{AB} \)

\( \dfrac {\sqrt{3}}{2} = \dfrac {\sqrt{12}}{AB} \)

\(\sqrt{3}\cdot AB=2 \cdot \sqrt{12} \)

\(AB=\dfrac{2\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \)

\( AB = 4 \)

Ответ: \( AB = 4 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

14. Гипотенуза \(AB=2\), а косинус угла \(A\) равен \(\dfrac{1}{2}\). Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC = 1 \)

\( cos \: A=\dfrac{1}{2} \;\;\;\;\;\;\; cos \:A = \dfrac {AC}{AB} \)

\( \dfrac {AC}{2}=\dfrac{1}{2} \)

\(AC=1 \)

Ответ: \( AC = 1 \)


ПОЗЖЕ




15.  Гипотенуза \( AB=6\sqrt{3} , ∡BAC=30^0 , \; cos \; 30^0=\dfrac {\sqrt{3}}{2} \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC = 9 \)

\( cos \: A=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\;\;\;\;\;\; cos \:A = \dfrac {AC}{AB} \)

\( \dfrac {AC}{6\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\(AC=\dfrac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \)

\( AC = \dfrac{6\cdot3}{2}=9 \)

Ответ: \( AC = 9 \)


ПОЗЖЕ




16.  Гипотенуза \( AB=8\sqrt{2} , ∡BAC=45^0 , \; cos \; 45^0=\dfrac {\sqrt{2}}{2} \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC = 8 \)

\( cos \: A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\;\;\;\;\;\; cos \:A = \dfrac {AC}{AB} \)

\( \dfrac {AC}{8\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\(AC=\dfrac{8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \)

\( AC = \dfrac{8\cdot2}{2}=8 \)

Ответ: \( AC = 8 \)


ПОЗЖЕ





17.  Катет \( AC=10\sqrt{2} , ∡BAC=45^0 , \; cos \; 45^0=\dfrac {\sqrt{2}}{2} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB = 20 \)

\( cos \: A=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\;\;\;\;\;\; cos \:A = \dfrac {AC}{AB} \)

\( \dfrac {\sqrt{2}}{2}=\dfrac{10\sqrt{2}}{AB} \)

\(AB\sqrt{2}=2 \cdot 10 \sqrt{2} \)

\( AB = \dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=20 \)

Ответ: \( AB = 20 \)


ПОЗЖЕ



Теорема Пифагора

18. Катет \( AC=\sqrt{3} , а ∡BAC=30^0 \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \(AB = 2\)

\( cos A = \dfrac {AC}{AB} \)

\(\dfrac {\sqrt{3}}{2}= \dfrac {\sqrt{3}}{AB}\)

\(\sqrt{3}\cdot AB = 2 \sqrt{3} \)

\( AB = 2 \)

Ответ: \(AB = 2\)


ПОЗЖЕ


19.  Гипотенуза \( AB=\sqrt{3} , а ∡BAC=30^0 \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \(AC = 1,5\)

\( cos A = \dfrac {AC}{AB} \)

\(\dfrac {\sqrt{3}}{2}= \dfrac {AC}{\sqrt{3}}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{3}=\dfrac{AC}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3} \)

\(\dfrac{3}{2}=AC \)

\(AC=\dfrac{3}{2}=1,5 \)

Ответ: \(AC = 1,5\)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

20.  Катет \( BC=\sqrt{12} . \) Тангенс угла \( \:A=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) . Найти катет \(AC\)


  

\( AC = 6 \)

\( tg \: A=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \;\;\;\;\;\;\; tg \:A = \dfrac {BC}{AC} \)

\( \dfrac {1}{\sqrt{3}} = \dfrac {\sqrt{12}}{AC} \)

\(AC=\sqrt{3}\cdot \sqrt{12} \)

\(AC=\sqrt{36}=6 \)

Ответ: \( AC = 6 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

21.  Катет \( BC=\sqrt{12} . \;\;\;\; tg\:A=\sqrt{3} \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC = 2 \)

\( tg \: A=\sqrt{3} \;\;\;\;\;\;\; tg \:A = \dfrac {BC}{AC} \)

\( \sqrt{3} = \dfrac {\sqrt{12}}{AC} \)

\(\sqrt{3}\cdot AC= \sqrt{12}\)

\(AC=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \)

\(AC=\sqrt {4}=2 \)

Ответ: \( AC = 2 \)


ПОЗЖЕ




Решение прямоугольного треугольника

22.  Катет \( AC=10\sqrt{2} . \;\;\;\; tg\:A=1 \) . Найти катет \(BC\)


  

Ответ: \( BC=10\sqrt{2} \)

Треугольник равнобедренный так как углы при гипотенузе равны \(BC=AC=10\sqrt{2} \)

\( tg \: A=1 \;\;\;\;\;\;\; tg \:A = \dfrac {BC}{AC} \)

\( 1= \dfrac {10\sqrt{2}}{AC} \)

\(BC=10\sqrt {2} \)

Ответ: \( BC=10\sqrt {2} \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

23.  Катет \( AC=4,8 . \;\;\;\; cos\:A=\dfrac{24}{25} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB=5 \)

\( cos\:A=\dfrac{24}{25} \;\;\;\;\;\;\; cos\:A=\dfrac{AC}{AB} \)

\( \dfrac{24}{25}= \dfrac{4,8}{AB}\)

\(24\cdot AB=25\cdot 4,8 \)

\( 24\cdot AB=120 \)

\( AB=\dfrac{120}{24}=5 \)

Ответ: \( AB=5 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

24.  Катет \( CB=\sqrt{33} . \;\;\;\; tg\:A=\dfrac{33}{4\sqrt{33}} \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC=4 \)

\( tg\:A=\dfrac{33}{4\sqrt{33}} \;\;\;\;\;\;\; tg\:A=\dfrac{CB}{AC} \)

\( \dfrac{33}{4\sqrt{33}}= \dfrac{\sqrt{33}}{AC}\)

\(33\cdot AC=4\cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{33} \)

\( 33\cdot AC=4 \cdot 33 \)

\(AC=4 \)

Ответ: \( AC=4 \)


ПОЗЖЕ



Решение прямоугольного треугольника

25.  Катет \( AC=\sqrt{3} . \;\;\;\; cos\:A=\dfrac{2}{5\sqrt{27}} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB=22,5\)

\( cos\:A=\dfrac{2}{5\sqrt{27}} \;\;\;\;\;\;\; cos\:A=\dfrac{AC}{AB} \)

\( \dfrac{2}{5\sqrt{27}}= \dfrac{\sqrt{3}}{AB}\)

\(2\cdot AB=5\cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} \)

\( 2\cdot AB=5 \cdot \sqrt{81} \)

\( 2\cdot AB=5 \cdot 9 \)

\( 2\cdot AB=45 \)

\(AB=\dfrac{45}{2}=22,5 \)

Ответ: \( AB=22,5\)


ПОЗЖЕ


Решение прямоугольного треугольника

26.  Катет \( CB=\sqrt{20} . \;\;\;\; cos\:B=\dfrac{2}{3\sqrt{5}} \) . Найти гипотенузу \(AB\)


  

Ответ: \( AB=15\)

\( cos\:B=\dfrac{2}{3\sqrt{5}} \;\;\;\;\;\;\; cos\:B=\dfrac{CB}{AB} \)

\( \dfrac{2}{3\sqrt{5}}= \dfrac{\sqrt{20}}{AB}\)

\(2\cdot AB=3\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{20} \)

\( 2\cdot AB=3 \cdot \sqrt{100} \)

\( 2\cdot AB=3 \cdot 10 \)

\( 2\cdot AB=30 \)

\(AB=\dfrac{30}{2}=15 \)

Ответ: \( AB=15\)


ПОЗЖЕ


Решение прямоугольного треугольника

27.  Катет \( CB=\sqrt{2} . \;\;\;\; tg\:B=4\sqrt{32} \) . Найти катет \(AC\)


  

Ответ: \( AC=32\)

\( tg\:B=4\sqrt{32} \;\;\;\;\;\;\; tg\:B=\dfrac{AC}{CB} \)

\( 4\sqrt{32}= \dfrac{AC}{\sqrt{2}}\)

\(4\sqrt{32}\cdot \sqrt{2} = AC \)

\(AC=4 \sqrt {64} \)

\( AC=4\cdot8=32 \)

Ответ: \( AC=32\)


ПОЗЖЕ