Основное тригонометрическое тождество .

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)


\( tg \: \alpha =\dfrac{sin \: \alpha}{ cos \: \alpha} \)







1.  \(sin \: \alpha=1 \). Найти \(cos \: \alpha \)


  

Ответ: \( cos \: \alpha =0 \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( 1^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( 1 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-1 \)

\( cos^2 \: \alpha =0 \)

\( cos \: \alpha =0 \)

Ответ: \( cos \: \alpha =0 \)


ПОЗЖЕ



2. \(sin \: \alpha= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \; . \;\;\;\; \) Найти \(cos \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{1}{2} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( (\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( \dfrac{3}{4} + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-\dfrac{3}{4} \)

\( cos^2 \: \alpha =\dfrac{1}{4} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{1}{2} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{1}{2} \)

\(cos\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит cos \: \alpha =\dfrac{1}{2} \)

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{1}{2} \)


ПОЗЖЕ




3.  \(sin \: \alpha= \dfrac{1}{2} \; . \;\;\;\; \) Найти \(cos \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( (\dfrac{1}{2})^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( \dfrac{1}{4} + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-\dfrac{1}{4} \)

\( cos^2 \: \alpha =\dfrac{3}{4} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\(cos\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)





4. \(sin \: \alpha= \dfrac{1}{3} \; . \;\;\;\; \) Найти \(cos \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( (\dfrac{1}{3})^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( \dfrac{1}{9} + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-\dfrac{1}{9} \)

\( cos^2 \: \alpha =\dfrac{8}{9} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{8}}{3} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{8}}{3} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)

\(cos\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит cos \: \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)


ПОЗЖЕ




5.  \(sin \: \alpha= \dfrac{2}{3} \; . \;\;\;\; \) Найти \(cos \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( (\dfrac{2}{3})^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( \dfrac{4}{9} + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-\dfrac{4}{9} \)

\( cos^2 \: \alpha =\dfrac{5}{9} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

\(cos\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3} \)

Ответ: \( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{3} \)


ПОЗЖЕ




6.  \(cos \: \alpha= \dfrac{\sqrt{666}}{27} \; . \;\;\;\; \) Найти \(sin \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{9} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + (\dfrac{\sqrt{666}}{27})^2 =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + \dfrac{666}{729} =1 \)

\( sin^2 \: \alpha =1-\dfrac{666}{729} \)

\( sin^2 \: \alpha =\dfrac{63}{729} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{\sqrt{63}}{27} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{63}}{27} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{3\sqrt{7}}{27} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{3\sqrt{7}}{27} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{9} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{7}}{9} \)

\(sin\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит sin \: \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{9} \)

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{9} \)


ПОЗЖЕ




7.  \(cos \: \alpha= \dfrac{\sqrt{245}}{21} \; . \;\;\;\; \) Найти \(sin \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{2}{3} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + (\dfrac{\sqrt{245}}{21})^2 =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + \dfrac{245}{441} =1 \)

\( sin^2 \: \alpha =1-\dfrac{245}{441} \)

\( sin^2 \: \alpha =\dfrac{196}{441} \)

\( sin \: \alpha = \sqrt{\dfrac{196}{441}} \) или \( sin \: \alpha =-\sqrt{\dfrac{196}{441}} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{14}{21} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{14}{21} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{2}{3} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{2}{3} \)

\(sin\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит sin \: \alpha =\dfrac{2}{3} \)

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{2}{3} \)


ПОЗЖЕ




8.  \(cos \: \alpha= \dfrac{\sqrt{13}}{7} \; . \;\;\;\; \) Найти \(sin \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{6}{7} \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + (\dfrac{\sqrt{13}}{7})^2 =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + \dfrac{13}{49} =1 \)

\( sin^2 \: \alpha =1-\dfrac{13}{49} \)

\( sin^2 \: \alpha =\dfrac{36}{49} \)

\( sin \: \alpha = \sqrt{\dfrac{36}{49}} \) или \( sin \: \alpha =-\sqrt{\dfrac{36}{49}} \)

\( sin \: \alpha =\dfrac{6}{7} \) или \( sin \: \alpha =-\dfrac{6}{7} \)

\(sin\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит sin \: \alpha =\dfrac{6}{7} \)

Ответ: \( sin \: \alpha =\dfrac{6}{7} \)


ПОЗЖЕ






9.  \(sin \: \alpha= \dfrac{1}{2} \; . \;\;\;\; \) Найти \(tg \: \alpha \) .\(\;\;\;\;(Угол \alpha острый\;0^0<\alpha<90^0) .\)


  

Ответ: \( tg \: \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \)

Сначала найдем косинус:

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( (\dfrac{1}{2})^2 + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( sin^2 \: \alpha + cos^2 \: \alpha =1 \)

\( cos^2 \: \alpha =1-\dfrac{1}{4} \)

\( cos^2 \: \alpha =\dfrac{3}{4} \)

\( cos \: \alpha = \sqrt{\dfrac{3}{4}} \) или \( cos \: \alpha =-\sqrt{\dfrac{3}{4}} \)

\( cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) или \( cos \: \alpha =-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\(cos\: \alpha >0,\; \) так как \(0^0<\alpha<90^0 \: значит cos \: \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

\( tg \: \alpha =\dfrac{sin \: \alpha}{ cos \: \alpha} \)

\( tg \: \alpha =\dfrac{ (\dfrac{1}{2}) }{ (\dfrac{\sqrt{3}}{2}) } = \dfrac{1}{2}: \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \)


ПОЗЖЕ