Закон сохранения энергии .

Сумма кинетической и потенциальной энергии не меняется.


(Если нет внешних сил)    (внешняя сила -любая сила кроме силы тяжести)

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)



\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)








1.  Футбольный мяч падает без начальной скорости с высоты \(h=20 м \). Найти его скорость перед столкновением с землей.


  

Ответ: \( v= 20 м/с \)

Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)

Начальная скорость \(v_1=0 \) равна нулю, а значит и кинетическая энергия \(E_{к1}=0 \)

конечная высота тела \(h_2\) равна нулю, это значит что потенциальная энергия \(E_{п2}=0 \)

Преобразуем уравнение закона сохранения энергии под условие этой задачи:

\(0+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+0 \)

\( mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2} \)

избавимся от индексов для простоты:

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \)

Дано:
\( h_1=20 м \)

\( g=10м/с^2 \; \)
\(v-? \)
Запишем закон сохранения энергии :

\(0+ mgh= \dfrac{ mv^2}{2}+0 \)

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \; \; \; \; \; \; делим \; обе \; части \; уравнения \; на \; массу: \)

\( gh= \dfrac{ v^2}{2} \)

\(2gh=v^2 \)

\( v=\sqrt{2gh} \)

\( v=\sqrt{2\cdot 10м/с^2 \cdot 20м }=20 м/с \)

Ответ: \( v= 20 м/с \)

ПОЗЖЕ









2.  Камень падает без начальной скорости с высоты \(h=11,25 м \). Найти его скорость перед столкновением с землей.


  

Ответ: \( v= 15 м/с \)

Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)

Начальная скорость \(v_1=0 \) равна нулю, а значит и кинетическая энергия \(E_{к1}=0 \)

конечная высота тела \(h_2\) равна нулю, это значит что потенциальная энергия \(E_{п2}=0 \)

Преобразуем уравнение закона сохранения энергии под условие этой задачи:

\(0+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+0 \)

\( mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2} \)

избавимся от индексов для простоты:

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \)

Дано:
\( h_1=20 м \)

\( g=10м/с^2 \; \)
\(v-? \)
Запишем закон сохранения энергии :

\(0+ mgh= \dfrac{ mv^2}{2}+0 \)

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \; \; \; \; \; \; делим \; обе \; части \; уравнения \; на \; массу: \)

\( gh= \dfrac{ v^2}{2} \)

\(2gh=v^2 \)

\( v=\sqrt{2gh} \)

\( v=\sqrt{2\cdot 10м/с^2 \cdot 11,25м }=15 м/с \)

Ответ: \( v= 15 м/с \)

ПОЗЖЕ









3.  Теннисный мячик падает без начальной скорости с высоты \(h=28,8 м \). Найти его скорость перед столкновением с землей.


  

Ответ: \( v= 24 м/с \)

Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)

Начальная скорость \(v_1=0 \) равна нулю, а значит и кинетическая энергия \(E_{к1}=0 \)

конечная высота тела \(h_2\) равна нулю, это значит что потенциальная энергия \(E_{п2}=0 \)

Преобразуем уравнение закона сохранения энергии под условие этой задачи:

\(0+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+0 \)

\( mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2} \)

избавимся от индексов для простоты:

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \)

Дано:
\( h_1=28,8 м \)

\( g=10м/с^2 \; \)
\(v-? \)
Запишем закон сохранения энергии :

\(0+ mgh= \dfrac{ mv^2}{2}+0 \)

\( mgh= \dfrac{ mv^2}{2} \; \; \; \; \; \; делим \; обе \; части \; уравнения \; на \; массу: \)

\( gh= \dfrac{ v^2}{2} \)

\(2gh=v^2 \)

\( v=\sqrt{2gh} \)

\( v=\sqrt{2\cdot 10м/с^2 \cdot 28,8м }=24 м/с \)

Ответ: \( v= 24 м/с \)

ПОЗЖЕ









4.  Произведен выстрел из зенитной пушки.Снаряд летит вертикально вверх со скоростью \(v=300 м/с \). Какой максимальной высоты достигнет снаряд?
\( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( h= 4500м \)

Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)

Начальная высота \(h_1=0 \) равна нулю, а значит и потенциальная энергия \(E_{п1}=0 \)

скорость тела в верхней точке \(v_2\) равна нулю, это значит что кинетическая энергия \(E_{к2}=0 \)

Преобразуем уравнение закона сохранения энергии под условие этой задачи:

\(\dfrac{ mv_1^2}{2}+0 =mgh_2 +0 \)

\( \dfrac{ mv_2^2}{2}=mgh_1 \)

избавимся от индексов для простоты:

\( \dfrac{ mv^2}{2}= mgh\)

Дано:
\( v=300 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)
\(h-? \)
Запишем закон сохранения энергии :

\( \dfrac{ mv^2}{2}+0=0+ mgh\)

\( \dfrac{ mv^2}{2}=mgh \; \; \; \; \; \; делим \; обе \; части \; уравнения \; на \; массу: \)

\( \dfrac{ v^2}{2}=gh \)

\( \dfrac{ v^2}{2g}=h \)

\( h= \dfrac{ v^2}{2g} \)

\( h= \dfrac{ (300м/с)^2}{2\cdot 10м/с^2}=4500м \)

Ответ: \( h= 4500м \)

ПОЗЖЕ









5.  На какой высоте находилась воздушная цель, если для достижения этой высоты скорость снаряда,запущенного с поверхности Земли, должна быть не менее 400 м/с ?
\( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( h= 8000м \)

Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= \dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh_2 \)

Начальная высота \(h_1=0 \) равна нулю, а значит и потенциальная энергия \(E_{п1}=0 \)

скорость тела в верхней точке \(v_2\) равна нулю, это значит что кинетическая энергия \(E_{к2}=0 \)

Преобразуем уравнение закона сохранения энергии под условие этой задачи:

\(\dfrac{ mv_1^2}{2}+0 =mgh_2 +0 \)

\( \dfrac{ mv_2^2}{2}=mgh_1 \)

избавимся от индексов для простоты:

\( \dfrac{ mv^2}{2}= mgh\)

Дано:
\( v=400 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)
\(h-? \)
Запишем закон сохранения энергии :

\( \dfrac{ mv^2}{2}+0=0+ mgh\)

\( \dfrac{ mv^2}{2}=mgh \; \; \; \; \; \; делим \; обе \; части \; уравнения \; на \; массу: \)

\( \dfrac{ v^2}{2}=gh \)

\( \dfrac{ v^2}{2g}=h \)

\( h= \dfrac{ v^2}{2g} \)

\( h= \dfrac{ (400м/с)^2}{2\cdot 10м/с^2}=8000м \)

Ответ: \( h= 8000м \)

ПОЗЖЕ









Задача 6

Снежок брошен вертикально вверх со скоростью \(v_1=10м/с .\) На какой высоте \(h\) кинетическая энергия снежка равна его потенциальной энергии? \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( h= 2,5м \)

Дано:
\( v_1=10 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( E_{к2}=E_{п2} \)


\(h-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= E_{к2}+E_{п2} \)

Начальная высота \(h_1=0 \) равна нулю, а значит и потенциальная энергия \(E_{п1}=0 \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ 0= E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= E_{к2}+E_{п2} \)

По условию задачи \( E_{к2}=E_{п2} \)

поэтому вместо \( E_{к2} \) напишем \(E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= E_{п2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= 2E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= 2mgh \)

\( \dfrac{ v_1^2}{2}= 2gh \)

\(h= \dfrac{ v_1^2}{4g} \)

\(h= \dfrac{ (10м/с)^2}{4 \cdot 10 м/с^2}=2,5 м \)

Ответ: \( h= 2,5 м \)


ПОЗЖЕ









Задача 7

Камень брошен вертикально вверх со скоростью \(v_1=9м/с .\) На какой высоте \(h\) кинетическая энергия камня равна половине его потенциальной энергии? \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( h= 2,7м \)

Дано:
\( v_1=9 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( E_{к2}=0,5E_{п2} \)


\(h-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh_1= E_{к2}+E_{п2} \)

Начальная высота \(h_1=0 \) равна нулю, а значит и потенциальная энергия \(E_{п1}=0 \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ 0= E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= E_{к2}+E_{п2} \)

По условию задачи \( E_{к2}=0,5E_{п2} \)

поэтому вместо \( E_{к2} \) напишем \(0,5E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= 0,5E_{п2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= 1,5E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}= 1,5mgh \)

\( mv_1^2= 3mgh \)

\( v_1^2= 3gh \)

\(h= \dfrac{ v_1^2}{3g} \)

\(h= \dfrac{ (9м/с)^2}{3 \cdot 10 м/с^2}=2,7 м \)

Ответ: \( h= 2,7 м \)


ПОЗЖЕ









Задача 10

Мальчик подъезжает на самокате к спуску, скорость мальчика в начале спуска \( v_1=2 м/с. \)
Высота спуска \(h=2,25 м .\) Найти скорость мальчика в конце спуска. \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( v_2=7 м/с \)

Дано:
\( v_1=2 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( h=2,25 м \)


\(v_2-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh= E_{к2}+0 \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+ mgh=\dfrac{ mv_2^2}{2} \)

\( mv_1^2+ 2mgh= mv_2^2 \)

\( v_1^2+ 2gh= v_2^2 \)

\( v_2^2= v_1^2+ 2gh \)

\( v_2=\sqrt { v_1^2+ 2gh } \)

\( v_2=\sqrt { (2м/с)^2+ 2 \cdot 10м/с^2 \cdot 2,25 м }=7 м/с \)

Ответ: \(v_2=7 м/с \)


ПОЗЖЕ









Задача 11

Мальчик подъезжает на самокате к подъему, скорость мальчика в начале подъема \( v_1=9 м/с. \)
Высота подъема \(h=3,6 м .\) Найти скорость мальчика в конце подъема. \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( v_2=3 м/с \)

Дано:
\( v_1=9 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( h=3,6 м \)


\(v_2-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+0 = E_{к2}+mgh \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}=\dfrac{ mv_2^2}{2}+ mgh \)

\( mv_1^2= mv_2^2 + 2mgh \)

\( v_1^2= v_2^2 + 2gh \)

\( v_2^2= v_1^2 - 2gh \)

\( v_2= \sqrt { v_1^2 - 2gh } \)

\( v_2=\sqrt { (9м/с)^2- 2 \cdot 10м/с^2 \cdot 3,6 м }=3 м/с \)

Ответ: \(v_2=3 м/с \)


ПОЗЖЕ









Задача 12

Мяч бросают с высоты \(h_1= 11м \) вертикально вниз со скоростью \(v= 10 м/с ,\) после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх.
На какую максимальную высоту поднимется мяч? \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( h_2 = 16м \)

Дано:
\( v=10 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( h_1= 11м \)


\(h_2-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv^2}{2}+mgh_1 = 0+mgh_2 \)

\( mv^2+2mgh_1 = 2mgh_2 \)

\( v^2+2gh_1 = 2gh_2 \)

\( h_2 = \dfrac{ v^2+2gh_1 }{2g} \)

\( h_2 = \dfrac{ (10м/с)^2+2\cdot 10м/с^2 \cdot 11м }{2\cdot 10м/с^2} =16м \)

Ответ: \( h_2 = 16м \)


ПОЗЖЕ









Задача 13

Мяч бросают с высоты \(h_1= 10м \) вертикально вниз со скоростью \(v= 10 м/с ,\) после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх.
Найти скорость мяча на высоте \(h_2= 14,2м \)
\( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( v_2=4 м/с \)

Дано:
\( v_1=10 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)

\( h_1=10 м \)

\( h_2=14,2 м \)
\(v_2-? \)
Перепишем уравнение закона сохранения энергии:

\( E_{к1}+E_{п1}=E_{к2}+E_{п2} \)

\( \dfrac{ mv_1^2}{2}+mgh_1 = \dfrac{ mv_2^2}{2} +mgh_2 \)

\( mv_1^2+2mgh_1 = mv_2^2 +2mgh_2 \)

\( v_1^2+2gh_1 = v_2^2 +2gh_2 \)

\( v_1^2+2gh_1 -2gh_2 = v_2^2 \)

\(v_2^2 = v_1^2+2gh_1 -2gh_2 \)

\(v_2 = \sqrt { v_1^2+2gh_1 -2gh_2 } \)

\(v_2 = \sqrt { (10 м/с) ^2+ 2 \cdot 10м/с^2 \cdot 10м -2 \cdot 10м/с^2 \cdot 14,2 м }=4 м/с \)

Ответ: \(v_2=4 м/с \)


ПОЗЖЕ









Задача 16

  Закон сохранения энергии
Велосипедист движется по горизонтальному участку велосипедного полигона с постоянной скоростью \(v= 11 м/с .\)
Впереди высокий трамплин с углом наклона \(\alpha =30^0 \), какое расстояние \(S\) проедет велосипедист по трамплину, если не будет крутить педали? \( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( S =12,1м \)

Дано:
\( v=11 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)



\( \alpha = 30^0 \)
\(S-? \)
Составим уравнение закона сохранения энергии:

\( \dfrac{ mv^2}{2} = mgh\)

\( sin \; \alpha= \dfrac{h}{S} \)

\(h= S \cdot sin \; \alpha \)

\( \dfrac{ mv^2}{2} = mg S \cdot sin \; \alpha \)

\( mv^2 = 2mg S \cdot sin \; \alpha \)

\( v^2 = 2g S \cdot sin \; \alpha \)

\( S = \dfrac{ v^2}{2 g sin \; \alpha} \)

\( S = \dfrac{ (11 м/с)^2 }{2 \cdot 10м/с^2 \cdot sin \; 30^0} =12,1м \)

Ответ: \( S =12,1м \)


ПОЗЖЕ









Задача 17

  Закон сохранения энергии
Автомобиль с заглохшим двигателем движется по горизонтальному участку со скоростью \( v=25 м/с \) и заезжает на затяжной подъем с углом наклона \(\alpha =30^0 .\)
Какое расстояние проедет автомобиль по инерции?
\( g=10м/с^2 \; \)


  

Ответ: \( S =62,5м \)

Дано:
\( v=25 м/с \)

\( g=10м/с^2 \; \)



\( \alpha = 30^0 \)
\(S-? \)
Составим уравнение закона сохранения энергии:

\( \dfrac{ mv^2}{2} = mgh\)

\( sin \; \alpha= \dfrac{h}{S} \)

\(h= S \cdot sin \; \alpha \)

\( \dfrac{ mv^2}{2} = mg S \cdot sin \; \alpha \)

\( mv^2 = 2mg S \cdot sin \; \alpha \)

\( v^2 = 2g S \cdot sin \; \alpha \)

\( S = \dfrac{ v^2}{2 g sin \; \alpha} \)

\( S = \dfrac{ (25 м/с)^2 }{2 \cdot 10м/с^2 \cdot sin \; 30^0} =62,5м \)

Ответ: \( S =62,5м \)


ПОЗЖЕ